Chapitre 5Théorie du consommateur et du producteur

Introduction

La première partie a traité les courbes d'offre et de demande comme données. Nous les avons tracées, déplacées et mesuré le surplus qu'elles généraient. Mais d'où viennent ces courbes ? Ce chapitre répond à cette question en dérivant la demande du problème d'optimisation du consommateur et l'offre du problème d'optimisation de l'entreprise.

Le changement de méthode est significatif. La première partie utilisait l'algèbre et la géométrie. Ce chapitre introduit l'optimisation sous contrainte — maximiser une fonction objectif sous une contrainte — à l'aide du calcul différentiel et des méthodes lagrangiennes. Le bénéfice est que les courbes d'offre et de demande cessent d'être des hypothèses et deviennent des conséquences de fondamentaux plus profonds : préférences, technologie et prix.

Le chapitre est long car il couvre deux théories parallèles — la théorie du consommateur et la théorie du producteur — qui se reflètent mutuellement. Le consommateur maximise l'utilité sous une contrainte budgétaire ; l'entreprise minimise les coûts sous une contrainte de production (ou maximise le profit sous une contrainte technologique). Les deux aboutissent à des conditions de tangence, et les deux génèrent les courbes que nous avions prises comme données dans la première partie.

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de :
  1. Formuler et résoudre le problème de maximisation de l'utilité du consommateur à l'aide du lagrangien
  2. Dériver les fonctions de demande marshallienne à partir de la maximisation de l'utilité
  3. Décomposer les variations de prix en effets de revenu et de substitution (équation de Slutsky)
  4. Formuler et résoudre les problèmes de minimisation des coûts et de maximisation du profit de l'entreprise
  5. Dériver les courbes de coûts de court et long terme à partir d'une fonction de production
  6. Classifier les rendements d'échelle

Prérequis : Chapitres 2 et 3. Prérequis mathématiques : calcul multivariable, optimisation sous contrainte (voir l'annexe A pour révision).

5.1 Préférences et utilité

Le consommateur choisit parmi des paniers de biens — des combinaisons comme « 3 pommes et 2 bananes » ou « 5 heures de loisir et 200 $ de consommation ». Pour modéliser ce choix, nous avons besoin d'une façon de représenter les préférences du consommateur — son classement des différents paniers.

Préférences. Une relation binaire $\succsim$ sur l'ensemble des paniers. On écrit $x \succsim y$ pour signifier « le consommateur préfère faiblement le panier $x$ au panier $y$ ». La préférence stricte ($x \succ y$) signifie que $x$ est strictement meilleur. L'indifférence ($x \sim y$) signifie que les deux sont également bons.

Pour que les préférences soient suffisamment bien comportées pour être modélisées mathématiquement, nous exigeons trois axiomes :

Complétude. Un axiome des préférences rationnelles exigeant que pour deux paniers $x$ et $y$ quelconques, le consommateur puisse les classer : soit $x \succsim y$, soit $y \succsim x$, soit les deux (indifférence). Le consommateur n'est jamais « incapable de décider ».
Transitivité. Un axiome des préférences rationnelles exigeant que si $x \succsim y$ et $y \succsim z$, alors $x \succsim z$. Les préférences ne contiennent pas de cycles — la cohérence logique est maintenue.
Continuité. Un axiome exigeant que de petits changements dans les paniers produisent de petits changements dans le classement des préférences. Il n'y a pas de « sauts » — si le panier $x$ est préféré à $y$, les paniers suffisamment proches de $x$ sont aussi préférés à $y$.
Fonction d'utilité. Une fonction à valeurs réelles $U(x_1, x_2)$ qui attribue un nombre à chaque panier de biens tel que les nombres plus élevés correspondent aux paniers les plus préférés. Elle existe lorsque les préférences satisfont la complétude, la transitivité et la continuité.
Utilité ordinale. Une représentation d'utilité dans laquelle seul le classement des paniers compte, et non la magnitude des valeurs d'utilité. Toute transformation monotone $V = g(U)$ (où $g$ est strictement croissante) représente les mêmes préférences.

Sous ces conditions, un théorème fondamental garantit l'existence d'une fonction d'utilité $U(x_1, x_2)$ — une fonction à valeurs réelles qui attribue un nombre à chaque panier tel que :

$$x \succsim y \iff U(x) \geq U(y)$$

Une utilité plus élevée signifie plus préféré. Mais les nombres eux-mêmes n'ont pas de signification au-delà du classement. Toute transformation monotone $V = g(U)$ (où $g$ est strictement croissante) représente les mêmes préférences. C'est ce que nous entendons par utilité ordinale : seul l'ordre compte.

Courbes d'indifférence

Courbe d'indifférence. L'ensemble de tous les paniers donnant le même niveau d'utilité : $\{(x_1, x_2) : U(x_1, x_2) = \bar{u}\}$.

Propriétés des courbes d'indifférence (avec des préférences bien comportées) : (1) Pente décroissante : plus d'un bien nécessite d'en abandonner un autre. (2) Ne peuvent se croiser : cela violerait la transitivité. (3) Courbes plus hautes = utilité plus élevée. (4) Convexes par rapport à l'origine (si les préférences sont convexes) : les mélanges sont préférés aux extrêmes.

Taux marginal de substitution

Taux marginal de substitution (TMS). Le taux auquel le consommateur est disposé à échanger le bien 2 contre le bien 1 tout en maintenant le même niveau d'utilité — le (négatif de la) pente de la courbe d'indifférence.

Le long d'une courbe d'indifférence, $dU = 0$ :

$$MRS_{12} = -\frac{dx_2}{dx_1}\bigg|_{U = \bar{u}} = \frac{MU_1}{MU_2}$$ (Eq. 5.1)
Intuition

What this says: The MRS tells you your personal exchange rate between two goods. If your MRS is 3, you would give up 3 units of good 2 for 1 more unit of good 1 and feel equally happy. It equals the ratio of how much extra happiness each good gives you.

Why it matters: This is how economists measure "how much you want something" without using money. It captures trade-offs purely in terms of your own preferences, and it is the slope of the indifference curve at any point.

See Full Mode for the derivation.

Le TMS est le rapport des utilités marginales. TMS décroissant : pour des préférences convexes, le TMS diminue à mesure que le consommateur descend le long de la courbe d'indifférence (plus de $x_1$, moins de $x_2$). Intuitivement : plus vous avez déjà de limonade, moins vous êtes disposé à renoncer à des biscuits pour une tasse supplémentaire.

Fonctions d'utilité courantes

Nom$U(x_1, x_2)$TMSCaractéristique clé
Cobb-Douglas$x_1^a x_2^b$$(a/b)(x_2/x_1)$Parts budgétaires constantes
Substituts parfaits$ax_1 + bx_2$$a/b$ (constant)Peut n'acheter qu'un seul bien
Compléments parfaits$\min(ax_1, bx_2)$Indéfini au point anguleuxRatio de consommation fixe
Quasi-linéaire$v(x_1) + x_2$$v'(x_1)$Pas d'effet de revenu sur $x_1$
CES$(x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho}$$(x_2/x_1)^{1-\rho}$Englobe toutes les formes ci-dessus

5.2 Le problème du consommateur

Contrainte budgétaire. L'ensemble des paniers abordables : $p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq m$, où $p_i$ sont les prix et $m$ le revenu. La droite de budget a une pente de $-p_1/p_2$ et des intercepts de $m/p_1$ sur l'axe $x_1$ et $m/p_2$ sur l'axe $x_2$.

La pente $-p_1/p_2$ est le taux d'échange du marché : pour acheter une unité supplémentaire du bien 1 (coûtant $p_1$), le consommateur doit renoncer à $p_1/p_2$ unités du bien 2.

Interactif : Explorateur de contrainte budgétaire

Déplacez les curseurs pour modifier les prix et le revenu. Observez la droite de budget pivoter et se déplacer en temps réel.

\$1\$10
\$1\$10
\$20\$240
Droite de budget: $x_1$-intercept = 30  |  $x_2$-intercept = 60  |  Slope = −2.00

Figure 5.0. La contrainte budgétaire montre tous les paniers accessibles. La modification d'un prix fait pivoter la droite autour de l'autre intersection ; la modification du revenu la déplace parallèlement. La pente $-p_1/p_2$ est le taux d'échange du marché.

Le problème du consommateur

Maximisation de l'utilité. Le problème fondamental du consommateur : choisir le panier de biens qui maximise l'utilité sous la contrainte budgétaire. Formellement : $\max U(x_1, x_2)$ sous contrainte $p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq m$.
$$\max_{x_1, x_2} \; U(x_1, x_2) \quad \text{subject to} \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$$ (Eq. 5.2)

La méthode du lagrangien

Lagrangien. Une technique mathématique pour résoudre les problèmes d'optimisation sous contrainte. Le lagrangien $\mathcal{L} = U(x_1, x_2) + \lambda(m - p_1 x_1 - p_2 x_2)$ convertit un problème contraint en un problème non contraint en introduisant un multiplicateur $\lambda$ qui valorise la contrainte.
$$\mathcal{L} = U(x_1, x_2) + \lambda(m - p_1 x_1 - p_2 x_2)$$ (Eq. 5.3)

Le multiplicateur de Lagrange $\lambda$ est l'utilité marginale du revenu — l'augmentation de l'utilité maximale pour un dollar supplémentaire de budget.

Conditions du premier ordre :

$$MU_1 = \lambda p_1, \quad MU_2 = \lambda p_2, \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$$ (Eq. 5.4)
Intuition

What this says: The consumer picks the best affordable bundle. The Lagrangian is the calculus machinery for solving this, but the result is simple: spend your budget so that the last dollar spent on each good gives you the same boost in happiness. If coffee gives you more happiness-per-dollar than tea, buy more coffee until the extra enjoyment per dollar is equalized.

Why it matters: This "equal bang for the buck" principle is the foundation of all demand theory. It explains why people diversify their spending rather than buying only one good, and it generates the demand curves from Chapter 2.

See Full Mode for the derivation.

Le consommateur répartit ses dépenses de sorte que l'utilité marginale par dollar soit la même pour les deux biens : $UM_1/p_1 = UM_2/p_2 = \lambda$. En divisant les deux premières conditions :

$$MRS = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{p_1}{p_2}$$ (Eq. 5.5)
Condition de tangence. À l'optimum du consommateur, la courbe d'indifférence est tangente à la droite de budget : $MRS = p_1/p_2$. Le taux auquel le consommateur est disposé à échanger des biens égale le taux auquel le marché lui permet de le faire.

Demande marshallienne

Demande marshallienne (ordinaire). Les quantités optimales en fonction des prix et du revenu : $x_i^*(p_1, p_2, m)$. Ce sont les fonctions de demande qui sous-tendent les courbes de demande du chapitre 2.
Exemple 5.1 — Demande Cobb-Douglas

$U = x_1^{1/2} x_2^{1/2}$. Tangence : $x_2/x_1 = p_1/p_2$, donc $x_2 = (p_1/p_2)x_1$.

En substituant dans la contrainte budgétaire : \$1p_1 x_1 = m$.

Demande marshallienne : $x_1^* = m/(2p_1)$, $x_2^* = m/(2p_2)$.

Le consommateur dépense exactement la moitié de son revenu pour chaque bien — la propriété de part budgétaire constante des préférences Cobb-Douglas.

Interactif : Maximisation de l'utilité et dérivation de la demande

Cette visualisation montre le lien profond : lorsque $p_1$ varie, le panier optimal trace la courbe de demande du bien 1. La courbe de demande EST l'ensemble des points optimaux à différents prix.

\$1 (bon marché)\$4\$10 (cher)
Panier optimal: x₁* = 15.0, x₂* = 30.0  |  Utility = 20.1  |  MRS = p₁/p₂ = 2.00

Figure 5.1a. Droite de budget et courbes d'indifférence. Le panier optimal se trouve au point de tangence.

Figure 5.1b. La courbe de demande du bien 1, tracée en faisant varier $p_1$.

Exemple 5.2 — Utilité quasi-linéaire

$U = \ln(x_1) + x_2$. Tangence : \$1/x_1 = p_1/p_2$, donc $x_1^* = p_2/p_1$.

Budget : $x_2^* = m/p_2 - 1$.

La demande pour $x_1$ dépend uniquement du rapport des prix, pas du revenu — la caractéristique de l'utilité quasi-linéaire. Il n'y a pas d'effet de revenu sur le bien 1.

5.3 Effets de revenu et de substitution

Lorsque le prix d'un bien change, deux choses se produisent simultanément :

Effet de substitution. La variation de la quantité demandée due uniquement au changement des prix relatifs, l'utilité étant maintenue constante. L'effet de substitution est toujours négatif : une hausse de prix réduit toujours la quantité demandée compensée.
Effet de revenu. La variation de la quantité demandée due au changement du pouvoir d'achat réel causé par la variation de prix. Pour les biens normaux, une hausse de prix réduit le revenu réel et réduit encore la demande. Pour les biens inférieurs, l'effet de revenu va dans le sens opposé.
  1. Effet de substitution : Le bien devient relativement moins cher (ou plus cher). Le consommateur se tourne vers le bien moins cher. Cet effet est toujours négatif.
  2. Effet de revenu : Le changement de prix modifie le pouvoir d'achat réel. Une baisse de prix équivaut à une hausse de revenu. Pour les biens normaux, cela renforce l'effet de substitution. Pour les biens inférieurs, il agit en sens inverse.

L'équation de Slutsky

Équation de Slutsky. La décomposition fondamentale de l'effet total d'un changement de prix en effets de substitution et de revenu : $\partial x_1/\partial p_1 = \partial x_1^h/\partial p_1 - x_1 \cdot \partial x_1/\partial m$. Elle montre que la réponse de la demande à un changement de prix dépend de la facilité de substitution et de l'importance du bien dans le budget.
$$\frac{\partial x_1}{\partial p_1} = \underbrace{\frac{\partial x_1^h}{\partial p_1}}_{\text{substitution (−)}} - \underbrace{x_1 \cdot \frac{\partial x_1}{\partial m}}_{\text{revenu (signe variable)}}$$ (Eq. 5.7)
Intuition

What this says: When a price changes, two things happen simultaneously. First, the good becomes relatively more or less expensive compared to alternatives, so you substitute (the substitution effect — always pushes you away from the pricier good). Second, the price change makes you effectively richer or poorer, changing how much of everything you buy (the income effect). The Slutsky equation says: total response = substitution effect + income effect.

Why it matters: This decomposition explains why demand curves almost always slope downward (both effects reinforce for normal goods), and identifies the rare exception: Giffen goods, where the income effect is so strong it overwhelms substitution, making people buy more of something when its price rises.

See Full Mode for the derivation.
Bien normal (théorie du consommateur). Un bien dont la demande augmente lorsque le revenu augmente ($\partial x/\partial m > 0$). Pour les biens normaux, l'effet de revenu renforce l'effet de substitution, de sorte que la loi de la demande est toujours respectée.
Bien inférieur. Un bien dont la demande diminue lorsque le revenu augmente ($\partial x/\partial m < 0$). Pour les biens inférieurs, l'effet de revenu s'oppose à l'effet de substitution, mais l'effet de substitution domine généralement.
Bien de Giffen. Un bien inférieur extrême pour lequel l'effet de revenu est si important qu'il domine l'effet de substitution, provoquant une augmentation de la demande lorsque le prix augmente. Les biens de Giffen violent la loi de la demande et sont extrêmement rares en pratique.
Type de bienEffet de substitutionEffet de revenuEffet total d'une hausse de prix
Bien normal− (achète moins)− (plus pauvre → achète moins)Sans ambiguïté −
Bien inférieur− (achète moins)+ (plus pauvre → achète plus)Généralement −
Bien de Giffen− (achète moins)+ (l'effet de revenu domine)+ (la demande augmente)

Interactif : Effets de revenu et de substitution (décomposition de Hicks)

Faites glisser $p_1$ vers le bas pour voir la baisse de prix décomposée en un effet de substitution (mouvement le long de la courbe d'indifférence initiale) et un effet de revenu (mouvement vers une courbe d'indifférence supérieure).

\$1 (forte baisse)\$4 (original)
Pas encore de changement de prix. Slide p₁ below \$1.00 to see the decomposition.

Figure 5.2. Décomposition de Hicks d'une baisse de prix. A = panier initial, B = panier compensé (effet de substitution), C = nouveau panier (effet de revenu). L'effet de substitution se déplace le long de la CI initiale ; l'effet de revenu déplace vers une CI supérieure.

Courbes d'Engel

Courbe d'Engel. La relation entre le revenu et la quantité demandée d'un bien, les prix étant maintenus constants. Pour les biens normaux, la courbe d'Engel est ascendante. Pour les biens inférieurs, elle finit par descendre.

Pour Cobb-Douglas, la courbe d'Engel est une droite passant par l'origine : $x_1 = am/p_1$, linéaire en $m$. La part budgétaire est toujours $a$, quel que soit le revenu.

Interactif : Courbes d'Engel

Ajustez le revenu avec le curseur pour voir comment le panier optimal se déplace. Le panneau gauche montre les droites de budget et les courbes d'indifférence ; le panneau droit trace la courbe d'Engel. Alternez entre un bien normal (Cobb-Douglas) et un bien inférieur (utilité modifiée où la demande recule à revenu élevé).

20200

Figure 5.4. Gauche : droites de budget et courbes d'indifférence à différents niveaux de revenu. Lorsque le revenu augmente, le panier optimal se déplace vers l'extérieur le long du sentier revenu-consommation. Droite : la courbe d'Engel représente la quantité du bien 1 (horizontal) en fonction du revenu (vertical). Pour un bien normal (Cobb-Douglas), la courbe d'Engel est linéaire. Pour un bien inférieur, elle se replie à revenu élevé.

5.4 Fonctions de production

Fonction de production. Une relation mathématique décrivant la production maximale pouvant être obtenue à partir d'intrants donnés : $Y = f(K, L)$, où $K$ est le capital et $L$ le travail.

Production Cobb-Douglas

$$Y = AK^\alpha L^{1-\alpha}$$ (Eq. 5.8)

où $A > 0$ est la productivité totale des facteurs et $\alpha \in (0,1)$ est l'élasticité de la production par rapport au capital.

Produits marginaux : $PM_K = \alpha Y/K$, $PM_L = (1-\alpha)Y/L$. Les deux sont positifs et décroissants.

Isoquantes et TMST

Isoquante. L'ensemble des combinaisons d'intrants produisant le même niveau de production : $\{(K, L) : f(K,L) = \bar{Y}\}$. Les isoquantes sont l'analogue en production des courbes d'indifférence.
Taux marginal de substitution technique (TMST). Le taux auquel une entreprise peut substituer un intrant à un autre tout en maintenant la production constante — la (négative de la) pente de l'isoquante. $MRTS_{LK} = MP_L/MP_K$.
$$MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{(1-\alpha)K}{\alpha L}$$ (Eq. 5.9)
Intuition

What this says: The MRTS tells you how many units of capital you can replace with one more worker while keeping output the same. It is the production analog of the consumer's MRS. When you already have lots of capital relative to labor, one extra worker is very productive (high MRTS); when you have lots of workers already, each additional one adds less.

Why it matters: This ratio determines the shape of the isoquant (the production equivalent of an indifference curve) and drives the firm's input choice. The firm will keep substituting the cheaper input for the more expensive one until the trade-off rate matches the relative input prices.

See Full Mode for the derivation.

Rendements d'échelle

Rendements d'échelle. Comment la production change lorsque tous les intrants sont multipliés par le même facteur. Rendements d'échelle constants (CRS) : la production varie proportionnellement. Rendements d'échelle croissants (IRS) : la production augmente plus que proportionnellement (économies d'échelle). Rendements d'échelle décroissants (DRS) : la production augmente moins que proportionnellement (déséconomies d'échelle).
TypeConditionSignification
CRS$f(tK,tL) = tY$Doubler les intrants double la production
IRS$f(tK,tL) > tY$Doubler les intrants plus que double la production
DRS$f(tK,tL) < tY$Doubler les intrants moins que double la production
Exemple 5.3 — Rendements d'échelle

$Y = K^{0.3}L^{0.8}$ : $f(tK,tL) = t^{1.1}Y$. Puisque \$1.1 > 1$ : rendements d'échelle croissants.

5.5 Minimisation des coûts

Minimisation des coûts. Le problème de l'entreprise consistant à choisir la combinaison d'intrants qui produit un niveau de production donné au coût total le plus bas : $\min wL + rK$ sous contrainte $f(K,L) = \bar{Y}$.
$$\min_{K, L} \; wL + rK \quad \text{sous contrainte} \quad f(K,L) = \bar{Y}$$ (Eq. 5.10)
Droite d'isocoût. Toutes les combinaisons de $K$ et $L$ qui coûtent le même montant : $C = wL + rK$. Pente : $-w/r$.

La condition de minimisation des coûts (à partir des CPO du lagrangien) :

$$MRTS = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{w}{r}$$ (Eq. 5.11)
Intuition

What this says: To produce at the lowest cost, the firm adjusts its mix of workers and machines until the "bang for the buck" is equal across inputs. If hiring one more worker adds more output per dollar than renting one more machine, hire the worker. Keep adjusting until the last dollar spent on labor and the last dollar spent on capital contribute equally to output.

Why it matters: This is the producer's version of the consumer's "equal marginal utility per dollar" rule. It explains why firms change their input mix when wages or interest rates change, and it generates the cost curves that underpin supply.

See Full Mode for the derivation.

Cela correspond parfaitement au $TMS = p_1/p_2$ du consommateur.

Interactif : Minimisation des coûts isoquante/isocoût

L'entreprise choisit les intrants pour minimiser les coûts. Ajustez les prix des facteurs et observez la droite d'isocoût pivoter et le rapport $K/L$ optimal changer.

\$2\$30
\$2\$30
Coût minimum: L* = 141.4, K* = 70.7  |  K/L = 0.50  |  TC = \$1,828

Figure 5.3. Minimisation des coûts : l'entreprise choisit la combinaison d'intrants où l'isoquante ($\bar{Y} = 100$) est tangente à la droite d'isocoût la plus basse. La condition de tangence est $TMST = w/r$. Lorsque le travail devient plus cher, l'entreprise substitue vers le capital.

Exemple 5.4 — Minimisation des coûts

$Y = K^{0.5}L^{0.5}$, $w = 10$, $r = 20$. Produire $\bar{Y} = 100$.

$TMST = K/L = w/r = 0.5$, donc $K = 0.5L$.

$(0.5L)^{0.5} \cdot L^{0.5} = 100 \Rightarrow L^* = 141.4$, $K^* = 70.7$.

$CT = 10(141.4) + 20(70.7) = \\$1{,}828$. Le travail étant moins cher, l'entreprise utilise plus de travail que de capital.

5.6 Courbes de coûts

Court terme vs. long terme

À court terme, au moins un intrant est fixe (typiquement le capital : $K = \bar{K}$). À long terme, tous les intrants sont variables.

Fonctions de coûts de court terme

Coût fixe (CF). Le coût des intrants qui ne peuvent pas être ajustés à court terme (par ex. loyer, crédit-bail d'équipement). Les coûts fixes ne varient pas avec le niveau de production.
Coût variable (CV). Le coût des intrants qui varient avec le niveau de production (par ex. travail, matières premières). Le coût variable augmente à mesure que l'entreprise produit davantage.
Coût marginal (Cm). Le coût supplémentaire de production d'une unité de plus : $MC = dTC/dQ$. Le coût marginal diminue généralement d'abord (rendements croissants de l'intrant variable), puis augmente (rendements décroissants).
Coût moyen (CM). Le coût total par unité de production : $AC = TC/Q = AFC + AVC$. La courbe AC est en forme de U, atteignant son minimum là où $MC = AC$.
Coût variable moyen (CVM). Le coût variable par unité de production : $AVC = VC/Q$. La courbe AVC est également en forme de U. Son minimum est le seuil de fermeture — le prix le plus bas auquel l'entreprise est prête à produire à court terme.
Seuil de fermeture. Le niveau de production (et le prix correspondant) auquel le prix égale le minimum du coût variable moyen ($P = AVC_{min}$). En dessous de ce prix, l'entreprise perd plus en produisant qu'en fermant complètement, car les recettes ne couvrent même pas les coûts variables.
Échelle minimale d'efficience. Le plus petit niveau de production auquel le coût moyen de long terme atteint son minimum. Les entreprises opérant en dessous de cette échelle ont des coûts unitaires plus élevés et sont désavantagées sur le plan concurrentiel.
Concept de coûtSymboleDéfinition
Coût fixe$CF$Coût des intrants fixes ($r\bar{K}$)
Coût variable$CV$Coût des intrants variables ($wL(Q)$)
Coût total$CT$$CF + CV$
Coût marginal$Cm$$dCT/dQ$
Coût total moyen$CM$$CT/Q$
Coût variable moyen$CVM$$CV/Q$
Coût fixe moyen$CFM$$CF/Q$ (toujours décroissant)

Relations clés :

  1. $CM = CVM + CFM$. Puisque $CFM$ décline toujours, $CM$ et $CVM$ convergent à production élevée.
  2. Le Cm intersecte le CM au minimum du CM. Quand $Cm < CM$, produire une unité de plus tire la moyenne vers le bas. Quand $Cm > CM$, cela tire la moyenne vers le haut.
  3. Le seuil de fermeture est où $P = CVM_{min}$. En dessous, l'entreprise ferme.

Interactif : Courbes de coûts et profit

L'entreprise a $CT = 50 + 2Q + 0.05Q^2$. Ajustez le prix du marché pour voir la production maximisant le profit et si l'entreprise réalise un profit ou une perte.

\$1\$8\$15
At P = \$1.00: Q* = 60  |  TR = \$180  |  TC = \$150  |  Profit = \$130

Figure 5.4. Courbes de coûts de court terme. L'entreprise produit où $P = Cm$ (sur la portion croissante). Zone verte = profit ; zone rouge = perte. En dessous du seuil de fermeture ($CVM_{min}$), l'entreprise ne produit rien.

Coût moyen de long terme

À long terme, l'entreprise peut choisir n'importe quel niveau de capital. La courbe de coût moyen de long terme (CMLT) est l'enveloppe de toutes les courbes de CM de court terme — chacune correspondant à un niveau de capital fixe différent.

Pourquoi la CMLT est typiquement en forme de U :

Le niveau de production au bas de la CMLT est l'échelle minimale d'efficience (EME) — la plus petite production pour laquelle la CMLT est minimisée.

Interactif : Coût moyen de court terme vs. long terme

Chaque courbe de CM de court terme correspond à un niveau de capital différent. Faites glisser le curseur pour mettre en évidence une courbe CMCT spécifique et voir comment elle se rapporte à l'enveloppe CMLT.

K=1 (petit)K=3K=6 (grand)
Capital K̄ = 3: SRAC minimum at Q = 47, AC = \$1.32  |  MES at Q ≈ 60

Figure 5.5. La courbe de CM de long terme (noire) est l'enveloppe des courbes de CM de court terme. Chaque CMCT correspond à une taille d'usine différente. La CMCT en gras montre le niveau de capital actuel. L'entreprise peut se déplacer le long de la CMLT à long terme en ajustant le capital.

5.7 Maximisation du profit

Maximisation du profit. L'objectif de l'entreprise : choisir la production pour maximiser le profit $\Pi = P \cdot Q - TC(Q)$. Pour une entreprise concurrentielle (preneuse de prix), la condition du premier ordre donne $P = MC$ — produire là où le prix égale le coût marginal.
$$\max_Q \; \Pi = P \cdot Q - TC(Q)$$ (Eq. 5.12)

Condition du premier ordre :

$$P = MC(Q)$$ (Eq. 5.13)
Intuition

What this says: A competitive firm should keep producing as long as the price it receives for one more unit exceeds the cost of making that unit. Stop when they are equal. Producing beyond that point means each additional unit costs more to make than it earns.

Why it matters: This single rule — price equals marginal cost — is where supply curves come from. The firm's supply curve is literally its marginal cost curve. It connects the abstract calculus of profit maximization to the supply-and-demand diagrams from Chapter 2.

See Full Mode for the derivation.

La règle de maximisation du profit : produire là où le prix égale le coût marginal. L'entreprise doit continuer à produire tant que la recette d'une unité supplémentaire ($P$) dépasse le coût ($Cm$). La courbe d'offre de l'entreprise est la portion de sa courbe de Cm au-dessus de $CVM_{min}$.

Pourquoi $P = Cm$ est la courbe d'offre — le lien profond. Au chapitre 2, nous avons tracé la courbe d'offre comme croissante. Maintenant nous voyons d'où elle vient : c'est la courbe de coût marginal de l'entreprise. La courbe d'offre est croissante parce que le coût marginal est croissant — non pas parce que nous l'avons supposé, mais parce que cela découle des rendements marginaux décroissants.

Exemple 5.5 — Maximisation du profit

$CT = 50 + 2Q + 0.5Q^2$. À $P = 12$ : $P = Cm$ donne \$12 = 2 + Q$, donc $Q^* = 10$.

$\Pi = 12(10) - [50 + 20 + 50] = 0$. Profit économique nul — l'équilibre concurrentiel de long terme.

Exemple 5.6 — Maximisation du profit à partir de la fonction de production

Une entreprise concurrentielle a une fonction de production $Y = 10L^{0.5}$, fait face à un salaire $w = 20$ et un prix de production $P = 8$.

Étape 1 — Trouver la fonction de profit. Recette : $R = PY = 8 \times 10L^{0.5} = 80L^{0.5}$. Coût : $C = wL = 20L$. Profit : $\Pi = 80L^{0.5} - 20L$.

Étape 2 — CPO. $d\Pi/dL = 40L^{-0.5} - 20 = 0 \implies L^{-0.5} = 0.5 \implies L^* = 4$.

Étape 3 — Calculer la production et le profit. $Y^* = 10(4)^{0.5} = 20$. Recette = \$1 \times 20 = 160$. Coût = \$10 \times 4 = 80$. Profit = \$10.

Vérification : $P \times PM_L = w$ à l'optimum : \$1 \times 10 \times 0.5 \times 4^{-0.5} = 8 \times 2.5 = 20 = w$. ✓

5.8 La courbe d'offre de l'entreprise

Fil conducteur : L'entreprise de Maya

Le stand de limonade de Maya — L'analyse complète des coûts

Structure des coûts : $CF = \\$10$/jour (location du stand). Matériaux : $\\$1.50$/tasse. Travail de Maya : 10 tasses/heure au coût d'opportunité de $\\$15$/h, soit $\\$1.50$/tasse.

$CT = 20 + 3Q$,   $Cm = 3$,   $CVM = 3$,   $CM = 20/Q + 3$.

Du chapitre 2 : $P^* = \\$1.75$. Mais $Cm = \\$1.00 > P^*$. Maya ne devrait pas exploiter son stand. Chaque tasse perd $\\$1.25$.

Cependant, si l'on exclut son coût d'opportunité (profit comptable uniquement), $CVM_{matériaux} = \\$1.50$, et $P = 2.75 > 1.50$. Elle gagne $\\$16.25$/jour en profit comptable mais $-\\$13.75$/jour en profit économique. L'économiste dit : Maya, votre temps vaut $\\$120$/jour à la librairie.

Résumé

Équations clés

LibelléÉquationDescription
Éq. 5.1$MRS = MU_1/MU_2$Taux marginal de substitution
Éq. 5.2$\max U(x_1,x_2)$ s.c. $p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$Problème du consommateur
Éq. 5.3$\mathcal{L} = U + \lambda(m - p_1 x_1 - p_2 x_2)$Lagrangien
Éq. 5.4FOCs: $MU_i = \lambda p_i$; budget bindsConditions du premier ordre
Éq. 5.5$MRS = p_1/p_2$Condition de tangence
Éq. 5.6$x_i^* = a_i m / p_i$Demande marshallienne Cobb-Douglas
Éq. 5.7$\partial x_1/\partial p_1 = \partial x_1^h/\partial p_1 - x_1 \partial x_1/\partial m$Équation de Slutsky
Éq. 5.8$Y = AK^\alpha L^{1-\alpha}$Fonction de production Cobb-Douglas
Éq. 5.9$MRTS = MP_L/MP_K$Taux marginal de substitution technique
Éq. 5.10$\min wL + rK$ s.c. $f(K,L) = \bar{Y}$Problème de minimisation des coûts
Éq. 5.11$MRTS = w/r$Rapport d'intrants minimisant les coûts
Éq. 5.12$\max \Pi = PQ - TC(Q)$Maximisation du profit
Éq. 5.13$P = MC$Règle de production maximisant le profit

Exercices

Pratique

  1. Un consommateur a une utilité $U = x_1^{1/3} x_2^{2/3}$, prix $p_1 = 4$, $p_2 = 2$, revenu $m = 120$. (a) Écrivez le lagrangien. (b) Dérivez la condition de tangence. (c) Résolvez pour la demande marshallienne des deux biens. (d) Calculez le panier optimal et vérifiez qu'il satisfait la contrainte budgétaire.
  2. Un consommateur a une utilité quasi-linéaire $U = 2\sqrt{x_1} + x_2$, $p_1 = 1$, $p_2 = 1$, $m = 10$. (a) Résolvez pour la consommation optimale. (b) Quelle est l'élasticité-revenu de la demande pour $x_1$ ? (c) Que se passe-t-il pour $x_1^*$ si le revenu double ?
  3. Une entreprise a une fonction de production $Y = 4K^{0.5}L^{0.5}$, $w = 8$, $r = 2$. (a) Trouvez la combinaison d'intrants minimisant les coûts pour produire $Y = 40$. (b) Quel est le coût total ? (c) Si $w$ doublait, comment le rapport optimal $K/L$ changerait-il ?
  4. Une entreprise concurrentielle a $CT = 100 + 5Q + Q^2$. (a) Dérivez Cm, CM et CVM. (b) Trouvez le seuil de fermeture. (c) À $P = 25$, trouvez la production maximisant le profit et le profit. (d) À $P = 5$, l'entreprise devrait-elle produire ou fermer ?
  5. Classifiez les rendements d'échelle : (a) $Y = 3K + 2L$, (b) $Y = K^{0.4}L^{0.4}$, (c) $Y = (KL)^{0.6}$, (d) $Y = \min(2K, 3L)$.

Application

  1. Pour une utilité Cobb-Douglas $U = x_1^a x_2^{1-a}$, dérivez les demandes marshalliennes et montrez que le consommateur dépense toujours la fraction $a$ pour le bien 1. Puis utilisez $V = \ln U$ et montrez que les mêmes demandes émergent. Que confirme cela sur l'ordinalité ?
  2. Une baisse de prix du bien 1 conduit un consommateur à acheter moins du bien 1. (a) Est-ce irrationnel ? (b) De quel type de bien s'agit-il nécessairement ? (c) Quelles conditions sont nécessaires ? (d) Pourquoi les biens de Giffen sont-ils si rares ?
  3. Une entreprise peut produire avec la technologie A ($CT_A = 100 + 2Q$) ou la technologie B ($CT_B = 10 + 5Q$). (a) Pour quels niveaux de production chacune est-elle moins chère ? (b) Qu'est-ce que cela implique pour la taille de l'entreprise et le choix technologique ?
  4. Dérivez la courbe d'offre de court terme pour une entreprise avec $CT = 50 + Q^2/2$. Tracez-la, indiquez le prix de fermeture et hachurez le profit à $P = 10$.
  5. En utilisant $Y = K^{0.3}L^{0.7}$ avec $w = 14$, $r = 6$ : (a) Trouvez le rapport $K/L$ minimisant les coûts. (b) Dérivez $CT(Y)$. (c) Quels sont les rendements d'échelle ?

Défi

  1. Prouvez que pour une utilité Cobb-Douglas $U = x_1^a x_2^{1-a}$, la fonction d'utilité indirecte est $V(p_1, p_2, m) = m \cdot (a/p_1)^a \cdot ((1-a)/p_2)^{1-a}$. Puis vérifiez l'identité de Roy : $x_1^* = -(\partial V/\partial p_1)/(\partial V/\partial m)$.
  2. Montrez qu'une entreprise maximisant son profit avec une production Cobb-Douglas à rendements constants réalise un profit économique nul à l'équilibre de long terme. (Indice : théorème d'Euler.) Pourquoi les rendements croissants posent-ils un problème pour les marchés concurrentiels ?
  3. La demande d'un consommateur pour le bien 1 est $x_1 = m/p_1 - p_2$. (a) Est-elle homogène de degré zéro ? (b) Satisfait-elle la symétrie de Slutsky ? (c) Peut-elle être générée par la maximisation de l'utilité ?
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