Chapitre 5Théorie du consommateur et du producteur

Intro

La première partie a traité les courbes d'offre et de demande comme données. Nous les avons tracées, déplacées et mesuré le surplus qu'elles généraient. Mais d'où viennent ces courbes ? Ce chapitre répond à cette question en dérivant la demande du problème d'optimisation du consommateur et l'offre du problème d'optimisation de l'entreprise.

Le changement de méthode est significatif. La première partie utilisait l'algèbre et la géométrie. Ce chapitre introduit l'optimisation sous contrainte — maximiser une fonction objectif sous une contrainte — à l'aide du calcul différentiel et des méthodes lagrangiennes. Le bénéfice est que les courbes d'offre et de demande cessent d'être des hypothèses et deviennent des conséquences de fondamentaux plus profonds : préférences, technologie et prix.

Le chapitre est long car il couvre deux théories parallèles — la théorie du consommateur et la théorie du producteur — qui se reflètent mutuellement. Le consommateur maximise l'utilité sous une contrainte budgétaire ; l'entreprise minimise les coûts sous une contrainte de production (ou maximise le profit sous une contrainte technologique). Les deux aboutissent à des conditions de tangence, et les deux génèrent les courbes que nous avions prises comme données dans la première partie.

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de :
  1. Formuler et résoudre le problème de maximisation de l'utilité du consommateur à l'aide du lagrangien
  2. Dériver les fonctions de demande marshallienne à partir de la maximisation de l'utilité
  3. Décomposer les variations de prix en effets de revenu et de substitution (équation de Slutsky)
  4. Formuler et résoudre les problèmes de minimisation des coûts et de maximisation du profit de l'entreprise
  5. Dériver les courbes de coûts de court et long terme à partir d'une fonction de production
  6. Classifier les rendements d'échelle

Prérequis : Chapitres 2 et 3. Prérequis mathématiques : calcul multivariable, optimisation sous contrainte (voir l'annexe A pour révision).

5.1 Préférences et utilité

Le consommateur choisit parmi des paniers de biens — des combinaisons comme « 3 pommes et 2 bananes » ou « 5 heures de loisir et 100 $ de consommation ». Pour modéliser ce choix, nous avons besoin d'une façon de représenter les préférences du consommateur — son classement des différents paniers.

Préférences. Une relation binaire $\succsim$ sur l'ensemble des paniers. On écrit $x \succsim y$ pour signifier « le consommateur préfère faiblement le panier $x$ au panier $y$ ». La préférence stricte ($x \succ y$) signifie que $x$ est strictement meilleur. L'indifférence ($x \sim y$) signifie que les deux sont également bons.

Pour que les préférences soient suffisamment bien comportées pour être modélisées mathématiquement, nous exigeons trois axiomes :

Complétude. Un axiome des préférences rationnelles exigeant que pour deux paniers $x$ et $y$ quelconques, le consommateur puisse les classer : soit $x \succsim y$, soit $y \succsim x$, soit les deux (indifférence). Le consommateur n'est jamais « incapable de décider ».
Transitivité. Un axiome des préférences rationnelles exigeant que si $x \succsim y$ et $y \succsim z$, alors $x \succsim z$. Les préférences ne contiennent pas de cycles ; la cohérence logique est maintenue.
Continuité. Un axiome exigeant que de petits changements dans les paniers produisent de petits changements dans le classement des préférences. Il n'y a pas de « sauts » : si le panier $x$ est préféré à $y$, les paniers suffisamment proches de $x$ sont aussi préférés à $y$.
Fonction d'utilité. Une fonction à valeurs réelles $U(x_1, x_2)$ qui attribue un nombre à chaque panier de biens tel que les nombres plus élevés correspondent aux paniers les plus préférés. Elle existe lorsque les préférences satisfont la complétude, la transitivité et la continuité.
Utilité ordinale. Une représentation d'utilité dans laquelle seul le classement des paniers compte, et non la magnitude des valeurs d'utilité. Toute transformation monotone $V = g(U)$ (où $g$ est strictement croissante) représente les mêmes préférences.

Sous ces conditions, un théorème fondamental garantit l'existence d'une fonction d'utilité $U(x_1, x_2)$ — une fonction à valeurs réelles qui attribue un nombre à chaque panier tel que :

$$x \succsim y \iff U(x) \geq U(y)$$

Une utilité plus élevée signifie plus préféré. Mais les nombres eux-mêmes n'ont pas de signification au-delà du classement. Toute transformation monotone $V = g(U)$ (où $g$ est strictement croissante) représente les mêmes préférences. C'est ce que nous entendons par utilité ordinale : seul l'ordre compte.

Courbes d'indifférence

Courbe d'indifférence. L'ensemble de tous les paniers donnant le même niveau d'utilité : $\{(x_1, x_2) : U(x_1, x_2) = \bar{u}\}$.

Propriétés des courbes d'indifférence (avec des préférences bien comportées) : (1) Pente décroissante : plus d'un bien nécessite d'en abandonner un autre. (2) Ne peuvent se croiser : cela violerait la transitivité. (3) Courbes plus hautes = utilité plus élevée. (4) Convexes par rapport à l'origine (si les préférences sont convexes) : les mélanges sont préférés aux extrêmes.

Taux marginal de substitution

Taux marginal de substitution (TMS). Le taux auquel le consommateur est disposé à échanger le bien 2 contre le bien 1 tout en maintenant le même niveau d'utilité. Géométriquement, c'est le (négatif de la) pente de la courbe d'indifférence.

Le long d'une courbe d'indifférence, $dU = 0$ :

$$MRS_{12} = -\frac{dx_2}{dx_1}\bigg|_{U = \bar{u}} = \frac{MU_1}{MU_2}$$ (Eq. 5.1)
Intuition

Ce que cela dit : Le TMS indique votre taux d'échange personnel entre deux biens. Si votre TMS est de 3, vous seriez prêt à céder 3 unités du bien 2 pour obtenir 1 unité supplémentaire du bien 1 et rester aussi heureux. Il est égal au rapport des utilités marginales de chaque bien.

Pourquoi c’est important : C'est ainsi que les économistes mesurent « à quel point vous voulez quelque chose » sans recourir à l'argent. Il capture les arbitrages en termes de vos propres préférences, et c'est la pente de la courbe d'indifférence en chaque point.

Ce qui change : À mesure que vous consommez davantage du bien 1 et moins du bien 2, votre disposition à les échanger diminue, car chaque unité supplémentaire du bien 1 est moins précieuse quand vous en avez déjà beaucoup. Ce « TMS décroissant » donne aux courbes d'indifférence leur forme concave.

En mode complet, l’éq. 5.1 dérive ceci formellement à partir de la différentielle totale de la fonction d’utilité.

Le TMS est le rapport des utilités marginales. TMS décroissant : pour des préférences convexes, le TMS diminue à mesure que le consommateur descend le long de la courbe d'indifférence (plus de $x_1$, moins de $x_2$). Intuitivement : plus vous avez déjà de limonade, moins vous êtes disposé à renoncer à des biscuits pour une tasse supplémentaire.

Fonctions d'utilité courantes

Nom$U(x_1, x_2)$TMSCaractéristique clé
Cobb-Douglas$x_1^a x_2^b$$(a/b)(x_2/x_1)$Parts budgétaires constantes
Substituts parfaits$ax_1 + bx_2$$a/b$ (constant)Peut n'acheter qu'un seul bien
Compléments parfaits$\min(ax_1, bx_2)$Indéfini au point anguleuxRatio de consommation fixe
Quasi-linéaire$v(x_1) + x_2$$v'(x_1)$Pas d'effet de revenu sur $x_1$
CES$(x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho}$$(x_2/x_1)^{1-\rho}$Englobe toutes les formes ci-dessus

5.2 Le problème du consommateur

Contrainte budgétaire. L'ensemble des paniers abordables : $p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq m$, où $p_i$ sont les prix et $m$ le revenu. La droite de budget a une pente de $-p_1/p_2$ et des intercepts de $m/p_1$ sur l'axe $x_1$ et $m/p_2$ sur l'axe $x_2$.

La pente $-p_1/p_2$ est le taux d'échange du marché : pour acheter une unité supplémentaire du bien 1 (coûtant $p_1$), le consommateur doit renoncer à $p_1/p_2$ unités du bien 2.

Interactif : Explorateur de contrainte budgétaire

Déplacez les curseurs pour modifier les prix et le revenu. Observez la droite de budget pivoter et se déplacer en temps réel.

\$1\$10
\$1\$10
\$20\$240
Droite de budget: ordonnée à l'origine $x_1$ = 30  |  ordonnée à l'origine $x_2$ = 60  |  Pente = −2.00

Figure 5.0. La contrainte budgétaire montre tous les paniers accessibles. La modification d'un prix fait pivoter la droite autour de l'autre intersection ; la modification du revenu la déplace parallèlement. La pente $-p_1/p_2$ est le taux d'échange du marché.

Le problème du consommateur

Maximisation de l'utilité. Le problème fondamental du consommateur : choisir le panier de biens qui maximise l'utilité sous la contrainte budgétaire. Formellement : $\max U(x_1, x_2)$ sous contrainte $p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq m$.
$$\max_{x_1, x_2} \; U(x_1, x_2) \quad \text{sous la contrainte} \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$$ (Eq. 5.2)

La méthode du lagrangien

Lagrangien. Une technique mathématique pour résoudre les problèmes d'optimisation sous contrainte. Le lagrangien $\mathcal{L} = U(x_1, x_2) + \lambda(m - p_1 x_1 - p_2 x_2)$ convertit un problème contraint en un problème non contraint en introduisant un multiplicateur $\lambda$ qui valorise la contrainte.
$$\mathcal{L} = U(x_1, x_2) + \lambda(m - p_1 x_1 - p_2 x_2)$$ (Eq. 5.3)
Intuition

Ce que cela dit : Le lagrangien est simplement un outil de comptabilité. Il combine l'objectif du ménage (maximiser l'utilité tirée de la consommation) et la contrainte (on ne peut pas dépenser plus que ce qu'on gagne). Le multiplicateur lambda mesure le supplément de bonheur qu'un dollar de revenu supplémentaire procurerait.

Pourquoi c’est important : Toute courbe de demande du consommateur et toute courbe de coût en microéconomie proviennent de la résolution d'un lagrangien. C'est le moteur derrière tout ce chapitre. Le prix fictif λ vous indique précisément combien un dollar de revenu supplémentaire augmenterait votre utilité.

Ce qui change : Lorsque les taux d'intérêt augmentent, lambda diminue — chaque dollar de patrimoine permet d'acheter plus de consommation future, donc la valeur marginale du patrimoine baisse. Lorsque le ménage devient plus impatient (bêta plus faible), lambda augmente — le patrimoine est plus précieux car vous souhaitez le dépenser plus tôt.

En mode complet, l’expression lagrangienne dérive ceci formellement.

Le multiplicateur de Lagrange $\lambda$ est l'utilité marginale du revenu — l'augmentation de l'utilité maximale pour un dollar supplémentaire de budget.

Conditions du premier ordre :

$$MU_1 = \lambda p_1, \quad MU_2 = \lambda p_2, \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$$ (Eq. 5.4)
Intuition

Ce que cela dit : Le consommateur choisit le meilleur panier abordable. Le lagrangien est le mécanisme de calcul permettant de résoudre ce problème, mais le résultat est simple : dépensez votre budget de manière à ce que le dernier euro consacré à chaque bien vous procure le même supplément de bonheur. Si le café vous apporte plus de bonheur par euro que le thé, achetez plus de café jusqu'à ce que le plaisir marginal par euro soit égalisé.

Pourquoi c’est important : Ce principe du « meilleur rendement par euro » est le fondement de toute la théorie de la demande. Il explique pourquoi les gens diversifient leurs dépenses plutôt que d'acheter un seul bien, et génère les courbes de demande du chapitre 2.

Ce qui change : Lorsque les prix changent, le « rendement par euro » se modifie. Si le bien 1 devient moins cher, son utilité par euro augmente, de sorte que vous en achetez davantage jusqu'à ce que la satisfaction marginale redescende à l'égalité. Lorsque le revenu augmente, vous pouvez vous permettre davantage des deux biens, mais le rapport reste le même pour les préférences Cobb-Douglas.

En mode complet, les éq. 5.2-5.4 dérivent les conditions du premier ordre à partir du lagrangien.

Le consommateur répartit ses dépenses de sorte que l'utilité marginale par dollar soit la même pour les deux biens : $UM_1/p_1 = UM_2/p_2 = \lambda$. En divisant les deux premières conditions :

À l'optimum, le consommateur égalise le bonheur par dollar entre tous les biens. Ce principe mène directement à la condition de tangence :

$$MRS = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{p_1}{p_2}$$ (Eq. 5.5)
Condition de tangence. À l'optimum du consommateur, la courbe d'indifférence est tangente à la droite de budget : $MRS = p_1/p_2$. Le taux auquel le consommateur est disposé à échanger des biens égale le taux auquel le marché lui permet de le faire.

Demande marshallienne

Demande marshallienne (ordinaire). Les quantités optimales en fonction des prix et du revenu : $x_i^*(p_1, p_2, m)$. Ce sont les fonctions de demande qui sous-tendent les courbes de demande du chapitre 2.
Exemple 5.1 — Demande Cobb-Douglas

$U = x_1^{1/2} x_2^{1/2}$. Tangence : $x_2/x_1 = p_1/p_2$, donc $x_2 = (p_1/p_2)x_1$.

En substituant dans la contrainte budgétaire : $1p_1 x_1 = m$.

Demande marshallienne : $x_1^* = m/(2p_1)$, $x_2^* = m/(2p_2)$.

Le consommateur dépense exactement la moitié de son revenu pour chaque bien — la propriété de part budgétaire constante des préférences Cobb-Douglas.

Intuition

Ce que cela dit : Avec des préférences Cobb-Douglas, le consommateur consacre toujours une fraction fixe de son revenu à chaque bien, indépendamment des prix. Si les exposants d'utilité sont égaux, il répartit son budget à 50/50. La demande pour chaque bien est simplement le revenu divisé par deux fois son prix.

Pourquoi c’est important : Ce résultat de « part budgétaire constante » est la caractéristique des préférences Cobb-Douglas. Il fait de ces préférences le modèle de référence en économie : la demande se calcule aisément, et l'élasticité-revenu est toujours 1 (les dépenses pour chaque bien augmentent proportionnellement avec le revenu).

Ce qui change : Quand le prix double, la quantité demandée est divisée par deux (demande à élasticité unitaire). Quand le revenu double, la quantité demandée double. La part budgétaire reste fixe quoi qu'il arrive : une prédiction forte et testable.

En mode complet, l’exemple 5.1 dérive la demande marshallienne pas à pas à partir de la condition de tangence.

Interactif : Maximisation de l'utilité et dérivation de la demande

Cette visualisation montre le lien profond : lorsque $p_1$ varie, le panier optimal trace la courbe de demande du bien 1. La courbe de demande EST l'ensemble des points optimaux à différents prix.

\$1 (bon marché)\$4\$10 (cher)
Panier optimal: x₁* = 15.0, x₂* = 30.0  |  Utilité = 20.1  |  TMS = p₁/p₂ = 2.00

Figure 5.1a. Droite de budget et courbes d'indifférence. Le panier optimal se trouve au point de tangence.

Figure 5.1b. La courbe de demande du bien 1, tracée en faisant varier $p_1$.

Exemple 5.2 — Utilité quasi-linéaire

$U = \ln(x_1) + x_2$. Tangence : $1/x_1 = p_1/p_2$, donc $x_1^* = p_2/p_1$.

Budget : $x_2^* = m/p_2 - 1$.

La demande pour $x_1$ dépend uniquement du rapport des prix, pas du revenu — la caractéristique de l'utilité quasi-linéaire. Il n'y a pas d'effet de revenu sur le bien 1.

Intuition

Ce que cela dit : Avec des préférences quasi-linéaires, le consommateur a un « point de satiation » pour le bien 1 qui dépend uniquement des prix relatifs. Tout revenu supplémentaire va entièrement au bien 2. Cela signifie que les variations de revenu n'ont aucun effet sur la demande du bien 1.

Pourquoi c’est important : L'utilité quasi-linéaire isole parfaitement l'effet de substitution. Comme il n'y a pas d'effet revenu sur le bien 1, la décomposition de Slutsky se simplifie considérablement. Les économistes l'utilisent comme référence pour étudier le pur comportement de substitution.

Ce qui change : Quand le prix du bien 1 augmente, le consommateur en achète moins (pure substitution). Quand le revenu augmente, toutes les dépenses supplémentaires vont au bien 2, de sorte que la courbe d'Engel du bien 1 est parfaitement verticale.

En mode complet, l’exemple 5.2 dérive les demandes à partir de la condition de tangence.

5.3 Effets de revenu et de substitution

Lorsque le prix d'un bien change, deux choses se produisent simultanément :

Effet de substitution. La variation de la quantité demandée due uniquement au changement des prix relatifs, l'utilité étant maintenue constante. L'effet de substitution est toujours négatif : une hausse de prix réduit toujours la quantité demandée compensée.
Effet de revenu. La variation de la quantité demandée due au changement du pouvoir d'achat réel causé par la variation de prix. Pour les biens normaux, une hausse de prix réduit le revenu réel et réduit encore la demande. Pour les biens inférieurs, l'effet de revenu va dans le sens opposé.
  1. Effet de substitution : Le bien devient relativement moins cher (ou plus cher). Le consommateur se tourne vers le bien moins cher. Cet effet est toujours négatif.
  2. Effet de revenu : Le changement de prix modifie le pouvoir d'achat réel. Une baisse de prix équivaut à une hausse de revenu. Pour les biens normaux, cela renforce l'effet de substitution. Pour les biens inférieurs, il agit en sens inverse.

L'équation de Slutsky

Équation de Slutsky. La décomposition fondamentale de l'effet total d'un changement de prix en effets de substitution et de revenu : $\partial x_1/\partial p_1 = \partial x_1^h/\partial p_1 - x_1 \cdot \partial x_1/\partial m$. Elle montre que la réponse de la demande à un changement de prix dépend de la facilité de substitution et de l'importance du bien dans le budget.
$$\frac{\partial x_1}{\partial p_1} = \underbrace{\frac{\partial x_1^h}{\partial p_1}}_{\text{substitution (−)}} - \underbrace{x_1 \cdot \frac{\partial x_1}{\partial m}}_{\text{revenu (signe variable)}}$$ (Eq. 5.7)
Intuition

Ce que cela dit : Quand un prix change, deux phénomènes se produisent simultanément. Premièrement, le bien devient relativement plus ou moins cher par rapport aux alternatives, ce qui conduit à substituer (l'effet de substitution, qui pousse toujours à s'éloigner du bien le plus cher). Deuxièmement, la variation de prix vous rend effectivement plus riche ou plus pauvre, modifiant la quantité de tout ce que vous achetez (l'effet revenu). L'équation de Slutsky dit : réponse totale = effet de substitution + effet revenu.

Pourquoi c’est important : Cette décomposition explique pourquoi les courbes de demande ont presque toujours une pente négative (les deux effets se renforcent pour les biens normaux), et identifie l'exception rare : les biens de Giffen, où l'effet revenu est si puissant qu'il l'emporte sur la substitution, amenant les gens à acheter davantage d'un bien quand son prix augmente.

Ce qui change : Quand le bien représente une faible part du budget (comme le sel), l'effet revenu est négligeable et la substitution domine, de sorte que la courbe de demande a certainement une pente négative. Quand le bien représente une grande part du budget ET est inférieur (comme un aliment de base pour un ménage très pauvre), l'effet revenu peut être assez important pour l'emporter sur la substitution, créant potentiellement un bien de Giffen.

En mode complet, l’éq. 5.7 dérive cette décomposition formellement.
Bien normal (théorie du consommateur). Un bien dont la demande augmente lorsque le revenu augmente ($\partial x/\partial m > 0$). Pour les biens normaux, l'effet de revenu renforce l'effet de substitution, de sorte que la loi de la demande est toujours respectée.
Bien inférieur. Un bien dont la demande diminue lorsque le revenu augmente ($\partial x/\partial m < 0$). Pour les biens inférieurs, l'effet de revenu s'oppose à l'effet de substitution, mais l'effet de substitution domine généralement.
Bien de Giffen. Un bien inférieur extrême pour lequel l'effet de revenu est si important qu'il domine l'effet de substitution, provoquant une augmentation de la demande lorsque le prix augmente. Les biens de Giffen violent la loi de la demande et sont extrêmement rares en pratique.
Type de bienEffet de substitutionEffet de revenuEffet total d'une hausse de prix
Bien normal− (achète moins)− (plus pauvre → achète moins)Sans ambiguïté −
Bien inférieur− (achète moins)+ (plus pauvre → achète plus)Généralement −
Bien de Giffen− (achète moins)+ (l'effet de revenu domine)+ (la demande augmente)

Interactif : Effets de revenu et de substitution (décomposition de Hicks)

Faites glisser $p_1$ vers le bas pour voir la baisse de prix décomposée en un effet de substitution (mouvement le long de la courbe d'indifférence initiale) et un effet de revenu (mouvement vers une courbe d'indifférence supérieure).

\$1 (forte baisse)\$4 (original)
Pas encore de changement de prix. Faites glisser p₁ en dessous de \$1.00 pour voir la décomposition.

Figure 5.2. Décomposition de Hicks d'une baisse de prix. A = panier initial, B = panier compensé (effet de substitution), C = nouveau panier (effet de revenu). L'effet de substitution se déplace le long de la CI initiale ; l'effet de revenu déplace vers une CI supérieure.

Courbes d'Engel

Courbe d'Engel. La relation entre le revenu et la quantité demandée d'un bien, les prix étant maintenus constants. Pour les biens normaux, la courbe d'Engel est ascendante. Pour les biens inférieurs, elle finit par descendre.

Pour Cobb-Douglas, la courbe d'Engel est une droite passant par l'origine : $x_1 = am/p_1$, linéaire en $m$. La part budgétaire est toujours $a$, quel que soit le revenu.

Interactif : Courbes d'Engel

Ajustez le revenu avec le curseur pour voir comment le panier optimal se déplace. Le panneau gauche montre les droites de budget et les courbes d'indifférence ; le panneau droit trace la courbe d'Engel. Alternez entre un bien normal (Cobb-Douglas) et un bien inférieur (utilité modifiée où la demande recule à revenu élevé).

20200

Figure 5.4. Gauche : droites de budget et courbes d'indifférence à différents niveaux de revenu. Lorsque le revenu augmente, le panier optimal se déplace vers l'extérieur le long du sentier revenu-consommation. Droite : la courbe d'Engel représente la quantité du bien 1 (horizontal) en fonction du revenu (vertical). Pour un bien normal (Cobb-Douglas), la courbe d'Engel est linéaire. Pour un bien inférieur, elle se replie à revenu élevé.

5.4 Fonctions de production

Fonction de production. Une relation mathématique décrivant la production maximale pouvant être obtenue à partir d'intrants donnés : $Y = f(K, L)$, où $K$ est le capital et $L$ le travail.

Production Cobb-Douglas

$$Y = AK^\alpha L^{1-\alpha}$$ (Eq. 5.8)

où $A > 0$ est la productivité totale des facteurs et $\alpha \in (0,1)$ est l'élasticité de la production par rapport au capital.

Produits marginaux : $PM_K = \alpha Y/K$, $PM_L = (1-\alpha)Y/L$. Les deux sont positifs et décroissants.

Intuition

Ce que cela dit : Le produit marginal de chaque facteur vous indique combien de production supplémentaire vous obtenez avec une unité de plus de ce facteur, en maintenant les autres constants. Pour la technologie Cobb-Douglas, le produit marginal de chaque facteur est proportionnel à son produit moyen (production totale divisée par la quantité de ce facteur).

Pourquoi c’est important : Les produits marginaux décroissants sont le moteur des courbes de coût à pente ascendante. Ajouter davantage de travailleurs à une usine de taille fixe finit par produire de moins en moins de production supplémentaire par travailleur, ce qui signifie que chaque unité de production supplémentaire coûte davantage à produire.

Ce qui change : Doubler le capital tout en maintenant le travail constant NE double PAS le produit marginal du capital ; il diminue. Mais doubler les deux facteurs ensemble (avec des rendements constants) double la production et laisse les produits marginaux inchangés.

En mode complet, les produits marginaux sont dérivés en différenciant la fonction de production Cobb-Douglas.

Isoquantes et TMST

Isoquante. L'ensemble des combinaisons d'intrants produisant le même niveau de production : $\{(K, L) : f(K,L) = \bar{Y}\}$. Les isoquantes sont l'analogue en production des courbes d'indifférence.
Taux marginal de substitution technique (TMST). Le taux auquel une entreprise peut substituer un intrant à un autre tout en maintenant la production constante. Géométriquement, c'est le (négatif de la) pente de l'isoquante. $MRTS_{LK} = MP_L/MP_K$.
$$MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{(1-\alpha)K}{\alpha L}$$ (Eq. 5.9)
Intuition

Ce que cela dit : Le TMST vous indique combien d'unités de capital vous pouvez remplacer par un travailleur supplémentaire tout en maintenant la production constante. C'est l'analogue de production du TMS du consommateur. Quand vous avez déjà beaucoup de capital par rapport au travail, un travailleur supplémentaire est très productif (TMST élevé) ; quand vous avez déjà beaucoup de travailleurs, chacun d'eux en plus ajoute moins.

Pourquoi c’est important : Ce rapport détermine la forme de l'isoquante (l'équivalent de production d'une courbe d'indifférence) et guide le choix de facteurs de l'entreprise. L'entreprise continuera à substituer le facteur le moins cher au plus cher jusqu'à ce que le taux d'échange corresponde aux prix relatifs des facteurs.

Ce qui change : À mesure que l'entreprise utilise davantage de travail par rapport au capital, chaque travailleur supplémentaire ajoute moins de production (produit marginal décroissant), de sorte que le TMST diminue. C'est pourquoi les isoquantes sont incurvées vers l'intérieur, par la même logique que le TMS décroissant pour les consommateurs.

En mode complet, l’éq. 5.9 dérive le TMST à partir des produits marginaux de la fonction de production Cobb-Douglas.

Rendements d'échelle

Rendements d'échelle. Comment la production change lorsque tous les intrants sont multipliés par le même facteur. Rendements d'échelle constants (CRS) : la production varie proportionnellement. Rendements d'échelle croissants (IRS) : la production augmente plus que proportionnellement (économies d'échelle). Rendements d'échelle décroissants (DRS) : la production augmente moins que proportionnellement (déséconomies d'échelle).
TypeConditionSignification
CRS$f(tK,tL) = tY$Doubler les intrants double la production
IRS$f(tK,tL) > tY$Doubler les intrants plus que double la production
DRS$f(tK,tL) < tY$Doubler les intrants moins que double la production
Exemple 5.3 — Rendements d'échelle

$Y = K^{0.3}L^{0.8}$ : $f(tK,tL) = t^{1.1}Y$. Puisque \$1.1 > 1$ : rendements d'échelle croissants.

Intuition

Ce que cela dit : Pour vérifier les rendements d'échelle, posez-vous la question : si je double tous les facteurs, la production plus que double, double exactement, ou augmente moins ? Additionnez les exposants : s'ils dépassent 1, doubler les facteurs plus que double la production (rendements croissants).

Pourquoi c’est important : Les rendements d'échelle déterminent la structure du marché. Avec des rendements croissants, les grandes entreprises ont des coûts unitaires plus bas, ce qui tend vers un monopole naturel. Avec des rendements constants, la taille de l'entreprise est indéterminée, de sorte que des marchés en concurrence parfaite sont possibles.

Ce qui change : Si les exposants somment exactement à 1 (comme la Cobb-Douglas standard avec $\alpha + (1-\alpha) = 1$), on obtient des rendements constants. Des sommes d'exposants plus grandes signifient des économies d'échelle plus fortes ; des sommes plus petites signifient des déséconomies d'échelle.

En mode complet, l’exemple 5.3 teste les rendements d’échelle en multipliant tous les facteurs par $t$.

5.5 Minimisation des coûts

Minimisation des coûts. Le problème de l'entreprise consistant à choisir la combinaison d'intrants qui produit un niveau de production donné au coût total le plus bas : $\min wL + rK$ sous contrainte $f(K,L) = \bar{Y}$.
$$\min_{K, L} \; wL + rK \quad \text{sous contrainte} \quad f(K,L) = \bar{Y}$$ (Eq. 5.10)
Droite d'isocoût. Toutes les combinaisons de $K$ et $L$ qui coûtent le même montant : $C = wL + rK$. Pente : $-w/r$.

La condition de minimisation des coûts (à partir des CPO du lagrangien) :

$$MRTS = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{w}{r}$$ (Eq. 5.11)
Intuition

Ce que cela dit : Pour produire au coût le plus bas, l'entreprise ajuste son dosage de travailleurs et de machines jusqu'à ce que le « rendement par euro » soit identique entre les facteurs. Si embaucher un travailleur supplémentaire ajoute davantage de production par euro que louer une machine supplémentaire, embauchez le travailleur. Continuez à ajuster jusqu'à ce que le dernier euro dépensé en travail et le dernier euro dépensé en capital contribuent également à la production.

Pourquoi c’est important : C'est la version du producteur de la règle du consommateur « utilité marginale égale par euro ». Elle explique pourquoi les entreprises modifient leur dosage de facteurs quand les salaires ou les taux d'intérêt changent, et génère les courbes de coût qui sous-tendent l'offre.

Ce qui change : Quand les salaires augmentent par rapport au taux de location du capital, l'entreprise substitue vers le capital (plus de machines, moins de travailleurs). Quand les taux d'intérêt augmentent, l'entreprise substitue vers le travail. L'entreprise se déplace toujours le long de l'isoquante vers le facteur relativement moins cher.

En mode complet, les éq. 5.10-5.11 dérivent la condition de minimisation des coûts à partir du lagrangien.

Cela correspond parfaitement au $TMS = p_1/p_2$ du consommateur.

Interactif : Minimisation des coûts isoquante/isocoût

L'entreprise choisit les intrants pour minimiser les coûts. Ajustez les prix des facteurs et observez la droite d'isocoût pivoter et le rapport $K/L$ optimal changer.

\$2\$30
\$2\$30
Coût minimum: L* = 141.4, K* = 70.7  |  K/L = 0.50  |  TC = \$1,828

Figure 5.3. Minimisation des coûts : l'entreprise choisit la combinaison d'intrants où l'isoquante ($\bar{Y} = 100$) est tangente à la droite d'isocoût la plus basse. La condition de tangence est $TMST = w/r$. Lorsque le travail devient plus cher, l'entreprise substitue vers le capital.

Exemple 5.4 — Minimisation des coûts

$Y = K^{0.5}L^{0.5}$, $w = 10$, $r = 20$. Produire $\bar{Y} = 100$.

$TMST = K/L = w/r = 0.5$, donc $K = 0.5L$.

$(0.5L)^{0.5} \cdot L^{0.5} = 100 \Rightarrow L^* = 141.4$, $K^* = 70.7$.

$CT = 10(141.4) + 20(70.7) = \\$1{,}828$. Le travail étant moins cher, l'entreprise utilise plus de travail que de capital.

Intuition

Ce que cela dit : Quand le travail coûte deux fois moins que le capital par unité, l'entreprise emploie deux fois plus de travailleurs que de machines. Le facteur le moins cher est utilisé plus intensivement, car l'entreprise incline son dosage de facteurs vers ce qui représente le meilleur rapport qualité-prix.

Pourquoi c’est important : C'est pourquoi la production manufacturière se déplace vers les pays à bas salaires (le travail y est bon marché par rapport au capital) et pourquoi l'automatisation s'accélère quand les salaires augmentent (le capital devient relativement moins cher). Le ratio de facteurs minimisant les coûts répond directement aux prix relatifs des facteurs.

Ce qui change : Si le salaire doublait de \$10 à \$20, l'entreprise utiliserait des quantités égales de travail et de capital (K/L = 1 au lieu de 0,5), et le coût total augmenterait. L'entreprise se substitue du facteur qui est devenu plus cher.

En mode complet, l’exemple 5.4 résout la minimisation des coûts pas à pas.

5.6 Courbes de coûts

Court terme vs. long terme

À court terme, au moins un intrant est fixe (typiquement le capital : $K = \bar{K}$). À long terme, tous les intrants sont variables.

Fonctions de coûts de court terme

Coût fixe (CF). Le coût des intrants qui ne peuvent pas être ajustés à court terme (par ex. loyer, crédit-bail d'équipement). Les coûts fixes ne varient pas avec le niveau de production.
Coût variable (CV). Le coût des intrants qui varient avec le niveau de production (par ex. travail, matières premières). Le coût variable augmente à mesure que l'entreprise produit davantage.
Coût marginal (Cm). Le coût supplémentaire de production d'une unité de plus : $MC = dTC/dQ$. Le coût marginal diminue généralement d'abord (rendements croissants de l'intrant variable), puis augmente (rendements décroissants).
Coût moyen (CM). Le coût total par unité de production : $AC = TC/Q = AFC + AVC$. La courbe AC est en forme de U, atteignant son minimum là où $MC = AC$.
Coût variable moyen (CVM). Le coût variable par unité de production : $AVC = VC/Q$. La courbe AVC est également en forme de U. Son minimum définit le seuil de fermeture : le prix le plus bas auquel l'entreprise est prête à produire à court terme.
Seuil de fermeture. Le niveau de production (et le prix correspondant) auquel le prix égale le minimum du coût variable moyen ($P = AVC_{min}$). En dessous de ce prix, l'entreprise perd plus en produisant qu'en fermant complètement, car les recettes ne couvrent même pas les coûts variables.
Échelle minimale d'efficience. Le plus petit niveau de production auquel le coût moyen de long terme atteint son minimum. Les entreprises opérant en dessous de cette échelle ont des coûts unitaires plus élevés et sont désavantagées sur le plan concurrentiel.
Concept de coûtSymboleDéfinition
Coût fixe$CF$Coût des intrants fixes ($r\bar{K}$)
Coût variable$CV$Coût des intrants variables ($wL(Q)$)
Coût total$CT$$CF + CV$
Coût marginal$Cm$$dCT/dQ$
Coût total moyen$CM$$CT/Q$
Coût variable moyen$CVM$$CV/Q$
Coût fixe moyen$CFM$$CF/Q$ (toujours décroissant)

Relations clés :

  1. $CM = CVM + CFM$. Puisque $CFM$ décline toujours, $CM$ et $CVM$ convergent à production élevée.
  2. Le Cm intersecte le CM au minimum du CM. Quand $Cm < CM$, produire une unité de plus tire la moyenne vers le bas. Quand $Cm > CM$, cela tire la moyenne vers le haut.
  3. Le seuil de fermeture est où $P = CVM_{min}$. En dessous, l'entreprise ferme.
Intuition

Ce que cela dit : Les coûts d'une entreprise se décomposent simplement. Les coûts fixes (loyer, équipement) ne varient pas avec la production. Les coûts variables (travail, matières premières) augmentent à mesure que vous produisez davantage. Le coût marginal est le coût de fabrication d'une unité supplémentaire. Le coût moyen est le coût total réparti sur toutes les unités.

Pourquoi c’est important : Les formes de ces courbes déterminent chaque décision d'offre. La forme en U du coût moyen résulte de la répartition des coûts fixes (qui le tire vers le bas) en lutte contre les rendements décroissants (qui le poussent vers le haut). Le coût marginal coupe toujours le coût moyen au bas du U. Pensez-y comme à votre moyenne générale : une nouvelle note au-dessus de votre moyenne la tire vers le haut, en dessous la tire vers le bas.

Ce qui change : Quand les coûts fixes augmentent, la courbe de coût moyen se déplace vers le haut mais le coût marginal reste inchangé, de sorte que le point de fermeture reste le même mais le point d'équilibre augmente. Quand les coûts variables augmentent (par exemple, des salaires plus élevés), le coût marginal et le coût variable moyen se déplacent tous deux vers le haut, faisant augmenter le prix de fermeture.

En mode complet, le tableau récapitulatif des coûts montre les définitions formelles et la notation du calcul différentiel.

Interactif : Courbes de coûts et profit

L'entreprise a $CT = 50 + 2Q + 0.05Q^2$. Ajustez le prix du marché pour voir la production maximisant le profit et si l'entreprise réalise un profit ou une perte.

\$1\$8\$15
À P = \$1,00 : Q* = 60  |  RT = \$180  |  CT = \$150  |  Profit = \$130

Figure 5.4. Courbes de coûts de court terme. L'entreprise produit où $P = Cm$ (sur la portion croissante). Zone verte = profit ; zone rouge = perte. En dessous du seuil de fermeture ($CVM_{min}$), l'entreprise ne produit rien.

Coût moyen de long terme

À long terme, l'entreprise peut choisir n'importe quel niveau de capital. La courbe de coût moyen de long terme (CMLT) est l'enveloppe de toutes les courbes de CM de court terme — chacune correspondant à un niveau de capital fixe différent.

Pourquoi la CMLT est typiquement en forme de U :

Le niveau de production au bas de la CMLT est l'échelle minimale d'efficience (EME) — la plus petite production pour laquelle la CMLT est minimisée.

Interactif : Coût moyen de court terme vs. long terme

Chaque courbe de CM de court terme correspond à un niveau de capital différent. Faites glisser le curseur pour mettre en évidence une courbe CMCT spécifique et voir comment elle se rapporte à l'enveloppe CMLT.

K=1 (petit)K=3K=6 (grand)
Capital K̄ = 3 : Minimum CMCT à Q = 47, CM = \$1,32  |  EME à Q ≈ 60

Figure 5.5. La courbe de CM de long terme (noire) est l'enveloppe des courbes de CM de court terme. Chaque CMCT correspond à une taille d'usine différente. La CMCT en gras montre le niveau de capital actuel. L'entreprise peut se déplacer le long de la CMLT à long terme en ajustant le capital.

5.7 Maximisation du profit

Maximisation du profit. L'objectif de l'entreprise : choisir la production pour maximiser le profit $\Pi = P \cdot Q - TC(Q)$. Pour une entreprise concurrentielle (preneuse de prix), la condition du premier ordre donne $P = MC$ : produire là où le prix égale le coût marginal.
$$\max_Q \; \Pi = P \cdot Q - TC(Q)$$ (Eq. 5.12)

Condition du premier ordre :

$$P = MC(Q)$$ (Eq. 5.13)
Intuition

Ce que cela dit : Une entreprise concurrentielle doit continuer à produire tant que le prix qu'elle reçoit pour une unité supplémentaire dépasse le coût de fabrication de cette unité. Elle s'arrête quand ils sont égaux. Produire au-delà de ce point signifie que chaque unité supplémentaire coûte plus à fabriquer qu'elle ne rapporte.

Pourquoi c’est important : Cette règle unique — prix égal au coût marginal — est l'origine des courbes d'offre. La courbe d'offre de l'entreprise est littéralement sa courbe de coût marginal. Elle relie le calcul abstrait de la maximisation du profit aux diagrammes offre-demande du chapitre 2.

Ce qui change : Quand le prix du marché augmente, l'entreprise produit davantage (elle remonte sa courbe de coût marginal). Quand les coûts augmentent (le coût marginal se déplace vers le haut), l'entreprise produit moins à tout prix donné. Si le prix tombe en dessous du minimum du coût variable moyen, l'entreprise s'arrête complètement, car produire ferait perdre de l'argent sur chaque unité.

En mode complet, les éq. 5.12-5.13 dérivent la condition de maximisation du profit à partir des conditions du premier ordre.

La règle de maximisation du profit : produire là où le prix égale le coût marginal. L'entreprise doit continuer à produire tant que la recette d'une unité supplémentaire ($P$) dépasse le coût ($Cm$). La courbe d'offre de l'entreprise est la portion de sa courbe de Cm au-dessus de $CVM_{min}$.

Pourquoi $P = Cm$ est la courbe d'offre — le lien profond. Au chapitre 2, nous avons tracé la courbe d'offre comme croissante. Maintenant nous voyons d'où elle vient : c'est la courbe de coût marginal de l'entreprise. La courbe d'offre est croissante parce que le coût marginal est croissant. La pente reflète les rendements marginaux décroissants plutôt qu'une hypothèse.

Exemple 5.5 — Maximisation du profit

$CT = 50 + 2Q + 0.5Q^2$. À $P = 12$ : $P = Cm$ donne \$12 = 2 + Q$, donc $Q^* = 10$.

$\Pi = 12(10) - [50 + 20 + 50] = 0$. Profit économique nul — l'équilibre concurrentiel de long terme.

Intuition

Ce que cela dit : À un prix de \$12, l'entreprise produit 10 unités et atteint exactement l'équilibre, à zéro profit économique. C'est à quoi ressemble l'équilibre concurrentiel à long terme : les entrées et sorties de marché poussent le prix au point où les entreprises gagnent juste assez pour couvrir tous leurs coûts, y compris le coût d'opportunité du capital.

Pourquoi c’est important : Un profit économique nul ne signifie pas que l'entreprise est en faillite. Cela signifie qu'elle gagne un rendement normal sur son investissement. Un profit économique positif attire des entrants, faisant baisser les prix. Un profit économique négatif déclenche des sorties, faisant monter les prix. Le marché converge vers un profit économique nul.

Ce qui change : Si le prix montait au-dessus de \$12, l'entreprise produirait davantage et réaliserait un profit positif, attirant de nouveaux entrants. Si le prix tombait en dessous du point d'équilibre, l'entreprise finirait par sortir.

En mode complet, l’exemple 5.5 résout la maximisation du profit numériquement.
Exemple 5.6 — Maximisation du profit à partir de la fonction de production

Une entreprise concurrentielle a une fonction de production $Y = 10L^{0.5}$, fait face à un salaire $w = 20$ et un prix de production $P = 8$.

Étape 1. Trouver la fonction de profit. Recette : $R = PY = 8 \times 10L^{0.5} = 80L^{0.5}$. Coût : $C = wL = 20L$. Profit : $\Pi = 80L^{0.5} - 20L$.

Étape 2. CPO. $d\Pi/dL = 40L^{-0.5} - 20 = 0 \implies L^{-0.5} = 0.5 \implies L^* = 4$.

Étape 3. Calculer la production et le profit. \$Y^* = 10(4)^{0.5} = 20\$. Recette = \\$1 \times 20 = 160\$. Coût = \\$10 \times 4 = 80\$. Profit = \\$10.

Vérification : $P \times PM_L = w$ à l'optimum : \$1 \times 10 \times 0.5 \times 4^{-0.5} = 8 \times 2.5 = 20 = w$. ✓

Intuition

Ce que cela dit : L'entreprise embauche des travailleurs jusqu'à ce que le revenu généré par le dernier travailleur soit exactement égal au salaire. Embaucher un travailleur de plus au-delà de ce point coûterait plus que le revenu qu'il génère.

Pourquoi c’est important : C'est "P = MC" exprimé en termes de marché du travail : embaucher jusqu'à ce que la valeur du produit marginal soit égale au salaire. Cela explique la demande de travail : les entreprises embauchent davantage de travailleurs quand le prix du produit augmente ou quand les travailleurs deviennent plus productifs.

Ce qui change : Si le prix du produit passait de \$1 à \$10, l'entreprise embaucherait davantage de travailleurs (le travail devient plus précieux). Si les salaires augmentaient, l'entreprise embaucherait moins de travailleurs. Les rendements décroissants signifient que chaque travailleur supplémentaire ajoute moins de revenu que le précédent.

En mode complet, l’exemple 5.6 dérive le choix optimal de travail à partir de la condition du premier ordre de la fonction de profit.

5.8 La courbe d'offre de l'entreprise

Fil conducteur : l'entreprise de Maya

Le stand de limonade de Maya — L'analyse complète des coûts

Structure des coûts : $CF = \\$10$/jour (location du stand). Matériaux : $\\$1.50$/tasse. Travail de Maya : 10 tasses/heure au coût d'opportunité de $\\$15$/h, soit $\\$1.50$/tasse.

$CT = 20 + 3Q$,   $Cm = 3$,   $CVM = 3$,   $CM = 20/Q + 3$.

Du chapitre 2 : $P^* = \\$1.75$. Mais $Cm = \\$1.00 > P^*$. Maya ne devrait pas exploiter son stand. Chaque tasse perd $\\$1.25$.

Cependant, si l'on exclut son coût d'opportunité (profit comptable uniquement), \$AVC_{matériaux} = \\\$1.50\$, et \$P = 2.75 > 1.50\$. Elle gagne \$\\\$16.25\$/jour en profit comptable mais \$-\\\$13.75\$/jour en profit économique. L'économiste dit : Maya, votre temps vaut \$\\\$120\$/jour à la librairie.

Résumé

Équations clés

LibelléÉquationDescription
Éq. 5.1$MRS = MU_1/MU_2$Taux marginal de substitution
Éq. 5.2$\max U(x_1,x_2)$ s.c. $p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$Problème du consommateur
Éq. 5.3$\mathcal{L} = U + \lambda(m - p_1 x_1 - p_2 x_2)$Lagrangien
Éq. 5.4FOCs: $MU_i = \lambda p_i$; budget bindsConditions du premier ordre
Éq. 5.5$MRS = p_1/p_2$Condition de tangence
Éq. 5.6$x_i^* = a_i m / p_i$Demande marshallienne Cobb-Douglas
Éq. 5.7$\partial x_1/\partial p_1 = \partial x_1^h/\partial p_1 - x_1 \partial x_1/\partial m$Équation de Slutsky
Éq. 5.8$Y = AK^\alpha L^{1-\alpha}$Fonction de production Cobb-Douglas
Éq. 5.9$MRTS = MP_L/MP_K$Taux marginal de substitution technique
Éq. 5.10$\min wL + rK$ s.c. $f(K,L) = \bar{Y}$Problème de minimisation des coûts
Éq. 5.11$MRTS = w/r$Rapport d'intrants minimisant les coûts
Éq. 5.12$\max \Pi = PQ - TC(Q)$Maximisation du profit
Éq. 5.13$P = MC$Règle de production maximisant le profit

Exercices

Pratique

  1. Un consommateur a une utilité $U = x_1^{1/3} x_2^{2/3}$, prix $p_1 = 4$, $p_2 = 2$, revenu $m = 120$. (a) Écrivez le lagrangien. (b) Dérivez la condition de tangence. (c) Résolvez pour la demande marshallienne des deux biens. (d) Calculez le panier optimal et vérifiez qu'il satisfait la contrainte budgétaire.
  2. Un consommateur a une utilité quasi-linéaire $U = 2\sqrt{x_1} + x_2$, $p_1 = 1$, $p_2 = 1$, $m = 10$. (a) Résolvez pour la consommation optimale. (b) Quelle est l'élasticité-revenu de la demande pour $x_1$ ? (c) Que se passe-t-il pour $x_1^*$ si le revenu double ?
  3. Une entreprise a une fonction de production $Y = 4K^{0.5}L^{0.5}$, $w = 8$, $r = 2$. (a) Trouvez la combinaison d'intrants minimisant les coûts pour produire $Y = 40$. (b) Quel est le coût total ? (c) Si $w$ doublait, comment le rapport optimal $K/L$ changerait-il ?
  4. Une entreprise concurrentielle a $CT = 100 + 5Q + Q^2$. (a) Dérivez Cm, CM et CVM. (b) Trouvez le seuil de fermeture. (c) À $P = 25$, trouvez la production maximisant le profit et le profit. (d) À $P = 5$, l'entreprise devrait-elle produire ou fermer ?
  5. Classifiez les rendements d'échelle : (a) $Y = 3K + 2L$, (b) $Y = K^{0.4}L^{0.4}$, (c) $Y = (KL)^{0.6}$, (d) $Y = \min(2K, 3L)$.

Application

  1. Pour une utilité Cobb-Douglas $U = x_1^a x_2^{1-a}$, dérivez les demandes marshalliennes et montrez que le consommateur dépense toujours la fraction $a$ pour le bien 1. Puis utilisez $V = \ln U$ et montrez que les mêmes demandes émergent. Que confirme cela sur l'ordinalité ?
  2. Une baisse de prix du bien 1 conduit un consommateur à acheter moins du bien 1. (a) Est-ce irrationnel ? (b) De quel type de bien s'agit-il nécessairement ? (c) Quelles conditions sont nécessaires ? (d) Pourquoi les biens de Giffen sont-ils si rares ?
  3. Une entreprise peut produire avec la technologie A ($CT_A = 100 + 2Q$) ou la technologie B ($CT_B = 10 + 5Q$). (a) Pour quels niveaux de production chacune est-elle moins chère ? (b) Qu'est-ce que cela implique pour la taille de l'entreprise et le choix technologique ?
  4. Dérivez la courbe d'offre de court terme pour une entreprise avec $CT = 50 + Q^2/2$. Tracez-la, indiquez le prix de fermeture et hachurez le profit à $P = 10$.
  5. En utilisant $Y = K^{0.3}L^{0.7}$ avec $w = 14$, $r = 6$ : (a) Trouvez le rapport $K/L$ minimisant les coûts. (b) Dérivez $CT(Y)$. (c) Quels sont les rendements d'échelle ?

Défi

  1. Prouvez que pour une utilité Cobb-Douglas $U = x_1^a x_2^{1-a}$, la fonction d'utilité indirecte est $V(p_1, p_2, m) = m \cdot (a/p_1)^a \cdot ((1-a)/p_2)^{1-a}$. Puis vérifiez l'identité de Roy : $x_1^* = -(\partial V/\partial p_1)/(\partial V/\partial m)$.
  2. Montrez qu'une entreprise maximisant son profit avec une production Cobb-Douglas à rendements constants réalise un profit économique nul à l'équilibre de long terme. (Indice : théorème d'Euler.) Pourquoi les rendements croissants posent-ils un problème pour les marchés concurrentiels ?
  3. La demande d'un consommateur pour le bien 1 est $x_1 = m/p_1 - p_2$. (a) Est-elle homogène de degré zéro ? (b) Satisfait-elle la symétrie de Slutsky ? (c) Peut-elle être générée par la maximisation de l'utilité ?
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