Le chapitre 8 a introduit le modèle de Solow : l'accumulation du capital entraîne la production vers un état stationnaire, mais la croissance à long terme de la production par travailleur nécessite un progrès technique exogène. Ce chapitre pose la question : d'où vient le progrès technique ? Si les idées sont le moteur de la croissance, et si les idées sont produites par des personnes prenant des décisions délibérées, alors la croissance elle-même est endogène.
Nous commençons par formaliser les enseignements du modèle de Solow à travers le cadre de Ramsey-Cass-Koopmans (épargne optimale), puis nous construisons la croissance endogène : le modèle AK, le modèle d'expansion des variétés de Romer, et la destruction créatrice schumpétérienne d'Aghion-Howitt.
Prérequis : Chapitre 8 (modèle de Solow). Prérequis mathématiques : optimisation dynamique, diagrammes de phase, équations différentielles.
Littérature de référence : Ramsey (1928) ; Cass (1965) ; Koopmans (1965) ; Diamond (1965) ; Romer (1986, 1990) ; Lucas (1988) ; Aghion & Howitt (1992) ; Mankiw, Romer & Weil (1992).
Le modèle de Solow suppose un taux d'épargne fixe $s$. Le modèle de Ramsey endogénéise l'épargne en permettant au ménage représentatif de choisir consommation et épargne pour maximiser l'utilité intertemporelle.
Préférences : Un ménage représentatif à durée de vie infinie avec une utilité CRRA :
Le paramètre $\sigma$ est le coefficient d'aversion relative pour le risque (inverse de l'élasticité de substitution intertemporelle, ESI $= 1/\sigma$). Technologie : $y = f(k)$ en termes par travailleur effectif avec rendements d'échelle constants. Le capital se déprécie au taux $\delta$ ; la population croît au taux $n$ ; la PTF croît au taux $g$.
CPO : $\lambda = c^{-\sigma}$ (Éq. 13.3) et $\dot{\lambda}/\lambda = \rho - [f'(k) - (n + g + \delta)]$ (Éq. 13.4).
C'est la règle de Keynes-Ramsey. La consommation croît lorsque le produit marginal du capital dépasse le taux d'escompte effectif.
À l'état stationnaire : $f'(k^*) = \rho + \delta + \sigma g$ (règle d'or modifiée) et $c^* = f(k^*) - (n + g + \delta)k^*$.
L'économie de Ramsey sous-accumule toujours par rapport à la règle d'or ($k^* < k_g$) car les ménages impatients consomment trop aujourd'hui. L'inefficience dynamique est impossible.
Figure 13.1. Diagramme de phase de Ramsey. La ligne bleue verticale est le lieu $\dot{c}=0$ ; la courbe rouge en forme de bosse est le lieu $\dot{k}=0$. La ligne verte en pointillés est le sentier de selle. Les flèches montrent la dynamique dans chaque région. Ajustez les paramètres et cliquez pour lancer des trajectoires.
Avec $f(k) = k^{1/3}$, $\rho = 0.04$, $\delta = 0.05$, $g = 0.02$, $\sigma = 2$ :
$\dot{c} = 0$ : $f'(k^*) = (1/3)k^{*-2/3} = 0.04 + 0.05 + 2(0.02) = 0.13$
$k^* = [(1/3)/0.13]^{3/2} = 4.11$, $c^* = (4.11)^{1/3} - (0.09)(4.11) = 1.23$
En partant de $k_0 = 1 < k^* = 4.11$ (paramètres de l'exemple 13.1), caractériser la dynamique du sentier de selle.
Étape 1 : En $k_0 = 1$, $f'(1) = 1/3 > 0.13 = \rho + \delta + \sigma g$, donc $\dot{c}/c > 0$ : la consommation augmente.
Étape 2 : Sur le sentier de selle, $c_0$ doit sauter à la valeur telle que la trajectoire converge vers $(k^*, c^*)$. Si $c_0$ est trop élevé, la consommation croît trop vite, le capital est épuisé, et l'économie atteint $k = 0$. Si $c_0$ est trop bas, le capital s'accumule indéfiniment, violant la transversalité.
Étape 3 : Le long du sentier de selle, $k$ et $c$ augmentent de façon monotone vers l'état stationnaire. L'économie croît rapidement au début (fort $f'(k)$) et décélère à mesure que $k \to k^*$.
Idée clé : Le sentier de selle est l'unique équilibre à anticipations rationnelles. Les ménages tournés vers l'avenir doivent sélectionner $c_0$ parfaitement pour l'atteindre.
Les modèles de Solow et de Ramsey prédisent que la croissance de la production par travailleur finit par cesser (en l'absence d'un $g$ exogène) en raison des rendements décroissants du capital. Le modèle AK élimine les rendements décroissants.
où $A$ est une constante et $K$ est interprété au sens large (capital physique + humain + connaissances).
La croissance est perpétuelle et proportionnelle au taux d'épargne. Il n'y a pas d'état stationnaire — pas de convergence. La politique (un $s$ plus élevé) affecte en permanence le taux de croissance, pas seulement le niveau.
Figure 13.2. Solow vs. modèle AK. Dans Solow (gauche), un taux d'épargne plus élevé déplace l'état stationnaire vers le haut — un effet de niveau. Dans le modèle AK (droite), un taux d'épargne plus élevé augmente le taux de croissance de façon permanente. Déplacez le curseur pour comparer.
L'intuition clé de Paul Romer : les idées sont non rivales. Un design de puce électronique, une fois créé, peut être utilisé simultanément par n'importe quel nombre d'entreprises. La non-rivalité implique des rendements d'échelle croissants. Romer a résolu l'incompatibilité avec la concurrence en introduisant la concurrence monopolistique — les innovateurs obtiennent des profits de monopole temporaires grâce aux brevets.
De nouvelles variétés sont créées par les chercheurs ($L_A$), en s'appuyant sur les connaissances existantes ($A$). Sur le sentier de croissance équilibrée :
Effets d'échelle : Une économie plus grande (plus de chercheurs potentiels) croît plus vite. C'est à la fois la prédiction du modèle et sa caractéristique la plus débattue.
Figure 13.3. Production d'idées de Romer. L'axe de gauche montre le taux de croissance des idées en fonction de la part du travail en R&D. Le panneau de droite montre l'effet d'échelle : les économies plus grandes (plus de travail total) produisent davantage de croissance pour la même part de R&D. Déplacez le curseur pour explorer.
Une économie compte $L = 1{,}000{,}000$ travailleurs, une part du travail en R&D $L_A/L = 0.05$, et une productivité de la R&D $\delta_A = 0.0004$.
Étape 1 : Nombre de chercheurs : $L_A = 0.05 \times 1{,}000{,}000 = 50{,}000$.
Étape 2 : Taux de croissance des idées : $g_A = \delta_A L_A = 0.0004 \times 50{,}000 = 20$ ... mais il faut interpréter les unités. Avec $\delta_A = 0.0004$ par chercheur, $g_A = 0.0004 \times 50{,}000 = 20$ ? Cela donne 2000 %/an. Recalibrons : $\delta_A = 0.00004$, alors $g_A = 0.00004 \times 50{,}000 = 2.0$, soit 2,0 %/an.
Étape 3 : Sur le sentier de croissance équilibrée, $g_Y = g_A = 2.0\%$/an. Temps de doublement : $\ln 2 / 0.02 = 34.7$ ans.
Étape 4 (effets d'échelle) : Si la population double à 2M avec la même part de R&D, $L_A = 100{,}000$, et $g_A = 4.0\%$/an. Le modèle de Romer prédit que les économies plus grandes croissent plus vite — une prédiction remise en cause empiriquement.
Dans le modèle de Romer, dériver le sentier de croissance équilibrée (BGP) où tous les taux de croissance sont constants.
Étape 1 : Production d'idées : $\dot{A}/A = \delta_A L_A$. Sur le BGP, $L_A$ est constant (fraction fixe du travail), donc $g_A = \delta_A L_A$ est constant.
Étape 2 : Production de biens finaux : $Y = A^\phi K^\alpha L_Y^{1-\alpha}$ (où $\phi$ capture l'externalité des idées). Sur le BGP, $g_Y = \phi g_A + \alpha g_K + (1-\alpha)g_{L_Y}$.
Étape 3 : Le capital s'accumule par l'épargne : $g_K = sY/K - \delta$. Sur le BGP, $g_K = g_Y$ (ratio $K/Y$ constant).
Étape 4 : En substituant $g_K = g_Y$ et $g_{L_Y} = n$ : $g_Y = \phi g_A + \alpha g_Y + (1-\alpha)n$, donc $g_Y(1-\alpha) = \phi g_A + (1-\alpha)n$, d'où $g_Y = \frac{\phi}{1-\alpha}g_A + n$.
Étape 5 : Croissance par tête : $g_{Y/L} = g_Y - n = \frac{\phi}{1-\alpha}\delta_A L_A$. La croissance du niveau de vie est proportionnelle à l'effort de R&D.
Aghion et Howitt (1992) modélisent la croissance par destruction créatrice. L'innovation suit un processus de Poisson ; chaque innovation améliore la qualité d'un facteur $\gamma > 1$.
Deux externalités opposées : l'effet de vol de marché (l'innovateur capture les rentes de l'entreprise en place — incitation excessive) et l'effet de retombée des connaissances (l'innovateur ne capture pas le bénéfice pour les futurs innovateurs — incitation insuffisante). Les données empiriques suggèrent que les retombées dominent généralement, justifiant les subventions à la R&D.
Chaque barre représente le niveau de qualité actuel d'une industrie sur l'échelle. Cliquez sur Étape pour avancer d'un cycle d'innovation : les industries recevant une innovation voient leur qualité bondir d'un facteur $\gamma$, tandis que l'entreprise en place déplacée clignote en rouge. Une intensité de R&D plus élevée signifie que plus d'industries innovent à chaque étape.
Figure 13.5. Échelle de qualité d'Aghion-Howitt. Chaque barre représente une industrie ; la hauteur est le niveau de qualité en logarithme. Cliquez sur Étape pour déclencher un cycle d'innovation — les industries innovantes montent (bleu) tandis que les entreprises en place déplacées clignotent en rouge. Une intensité de R&D plus élevée augmente la proportion d'industries innovant à chaque période, ce qui accroît le taux de croissance agrégé. Observez comment la destruction créatrice stimule la croissance.
Dans le modèle d'Aghion-Howitt avec un taux d'arrivée $\lambda \phi(n) = \lambda n$ (linéaire en travail de R&D $n$), un pas de qualité $\gamma = 1.2$, et un taux d'intérêt $r = 0.05$ :
Étape 1 : Taux de croissance : $g = \lambda n \ln\gamma$. Avec $\lambda = 0.5$ et $n = 0.10$ : $g = 0.5 \times 0.10 \times \ln(1.2) = 0.5 \times 0.10 \times 0.182 = 0.0091$, soit 0,91 %/an.
Étape 2 : Le planificateur social maximise le bien-être en tenant compte du fait que chaque innovation crée une retombée de connaissances pour les futurs innovateurs. L'innovateur privé ignore cette externalité.
Étape 3 : Effet de vol de marché : l'innovateur capture les rentes de l'entreprise en place (incitation privée excessive = $\pi_{old}$). Retombée de connaissances : l'innovateur élève la frontière de qualité pour les futurs innovateurs (incitation privée insuffisante).
Étape 4 : Si la retombée domine (cas typique), l'optimum social a $n^* > n_{market}$, justifiant les subventions à la R&D. Si le vol de marché domine, le marché surinvestit en R&D.
La convergence inconditionnelle échoue : beaucoup des pays les plus pauvres du monde en 1960 restent les plus pauvres aujourd'hui. La convergence conditionnelle réussit : en contrôlant les déterminants de l'état stationnaire, les pays plus pauvres croissent plus vite. Vitesse de convergence : environ 2 %/an (demi-vie d'environ 35 ans).
Figure 13.4. Visualisation de la convergence. Deux pays partent de stocks de capital différents (k0=1 en bleu, k0=8 en rouge) mais partagent les mêmes fondamentaux. Les deux convergent vers le même état stationnaire. L'ajustement de la qualité institutionnelle A déplace l'état stationnaire commun. Regardez les trajectoires de convergence animées.
MRW ont ajouté le capital humain ($h$) au modèle de Solow :
MRW ont montré que le modèle de Solow augmenté explique environ 80 % de la variation des revenus entre pays — une amélioration spectaculaire par rapport au modèle de base (environ 60 %).
Figure 13.5. Régression de type MRW : log du PIB par tête vs. log du taux d'investissement, coloré par le capital humain (scolarisation). Les pays à capital humain plus élevé (points plus grands et plus verts) tendent à être plus riches. La droite ajustée montre la forte relation positive entre investissement et revenu. Survolez pour les détails par pays.
La croissance de la PTF (le résidu de Solow) représente une part importante de la croissance dans les économies avancées. L'accumulation du capital seule ne peut pas soutenir une croissance durable.
Entre 1966 et 1990, le PIB de la Corée du Sud a crû de 10,3 %/an. Décomposons cela par la comptabilité de la croissance.
Données : Croissance du capital $g_K = 13.7\%$/an. Croissance du travail $g_L = 6.4\%$/an (avec ajustement pour la qualité). Part du capital $\alpha = 0.35$.
Étape 1 : Contribution du capital : $\alpha \cdot g_K = 0.35 \times 13.7\% = 4.8\%$.
Étape 2 : Contribution du travail : $(1-\alpha) \cdot g_L = 0.65 \times 6.4\% = 4.2\%$.
Étape 3 : Résidu PTF : $g_A = g_Y - \alpha g_K - (1-\alpha)g_L = 10.3\% - 4.8\% - 4.2\% = 1.3\%$.
Interprétation : L'accumulation des facteurs (capital + travail) explique 87 % de la croissance coréenne. La PTF n'en représente que 13 %. Cela a conduit au débat « transpiration vs. inspiration » : le miracle asiatique était-il dû à une accumulation brute (Young, 1995) ou à de véritables gains de productivité ?
Mankiw, Romer et Weil (1992) estiment le modèle de Solow augmenté :
$$\ln(Y/L) = \text{const} + \frac{\alpha}{1-\alpha-\beta}\ln s_K + \frac{\beta}{1-\alpha-\beta}\ln s_H - \frac{\alpha+\beta}{1-\alpha-\beta}\ln(n+g+\delta)$$
Étape 1 : Avec $\alpha = 1/3$ et $\beta = 1/3$ : le coefficient de $\ln s_K$ est $\frac{1/3}{1/3} = 1.0$ ; celui de $\ln s_H$ est $\frac{1/3}{1/3} = 1.0$ ; celui de $\ln(n+g+\delta)$ est $-\frac{2/3}{1/3} = -2.0$.
Étape 2 : Un pays qui double son taux d'investissement physique ($s_K$) augmente son revenu d'état stationnaire de $\exp(1.0 \times \ln 2) = 2.0$, soit 100 %.
Étape 3 : Un pays qui double son investissement en capital humain ($s_H$) double aussi son revenu. Le capital humain est aussi important que le capital physique.
Étape 4 : Le modèle augmenté (R$^2 \approx 0.78$) surpasse nettement le modèle de Solow de base (R$^2 \approx 0.59$). L'ajout du capital humain résout le problème de la vitesse de convergence « trop élevée » du modèle de base.
La boutade de Solow en 1987 : « On voit l'ère informatique partout, sauf dans les statistiques de productivité. »
Malgré des investissements massifs dans les technologies de l'information au cours des années 1970 et 1980, la croissance de la PTF aux États-Unis a en réalité ralenti — passant de 1,5 %/an en 1948–73 à 0,3 %/an en 1973–95. Les ordinateurs transformaient les bureaux, les usines et la vie quotidienne, mais les statistiques de croissance ne montraient rien.
Trois explications ont émergé : (1) Erreur de mesure — les comptes nationaux peinaient à capter les améliorations de qualité des nouveaux biens et services. Comment mesurer le gain de productivité du courriel remplaçant le courrier postal ? (2) Délais de mise en œuvre — les technologies à usage général nécessitent des investissements complémentaires (réorganisation, formation, nouveaux processus) qui prennent des décennies. L'électricité a suivi un schéma similaire : inventée dans les années 1880, les gains de productivité ne sont devenus visibles que dans les années 1920. (3) Redistribution, pas création — certains investissements en TI n'ont fait que transférer des rentes entre entreprises sans accroître la productivité agrégée.
Résolution : La productivité a bondi à la fin des années 1990 (la croissance de la PTF a atteint 1,4 %/an en 1995–2004), concentrée dans les secteurs utilisant les TI comme le commerce de détail et de gros. Le paradoxe de la productivité était réel mais temporaire — l'ère informatique a fini par apparaître dans les statistiques, validant le cadre de Solow tout en soulignant les limites de la comptabilité de la croissance en temps réel.
Kaelani (PIB = 10 Md$, pop. = 5M, s = 0,15) consacre 0,5 % de son PIB à la R&D : environ 500 chercheurs. Dans le cadre de Romer, cela peut être insuffisant pour une innovation de frontière significative.
Mais trois facteurs aident : (1) Diffusion des connaissances — les idées sont non rivales, donc Kaelani peut adopter des technologies de l'étranger. (2) Spécialisation — concentrer la R&D sur des niches comme l'agriculture tropicale. (3) Institutions — les réformes du chapitre 12 augmentent la PTF en réduisant la corruption.
Comptabilité de la croissance (2010-2025) : Croissance du PIB 4,0 %/an = accumulation du capital (2,0 %) + croissance du travail (1,0 %) + croissance de la PTF (1,0 %). La croissance de 1 % de la PTF est tirée par les réformes institutionnelles et l'adoption technologique, et non par l'innovation de frontière.
| Libellé | Équation | Description |
|---|---|---|
| Éq. 13.1 | $\max \int e^{-\rho t}u(c)dt$ s.t. $\dot{k} = f(k)-c-(n+g+\delta)k$ | Problème du ménage de Ramsey |
| Éq. 13.5 | $\dot{c}/c = (1/\sigma)[f'(k) - \rho - \delta - \sigma g]$ | Équation d'Euler |
| Éq. 13.6 | $\lim_{t\to\infty} \lambda(t)k(t)e^{-\rho t} = 0$ | Condition de transversalité |
| Éq. 13.7 | $Y = AK$ | Fonction de production AK |
| Éq. 13.8 | $g_Y = sA - \delta$ | Taux de croissance AK |
| Éq. 13.9 | $\dot{A} = \delta_A L_A A$ | Production d'idées de Romer |
| Éq. 13.10 | $g_A = \delta_A L_A$ | Taux de croissance équilibré de Romer |
| Éq. 13.12 | $g = \lambda\phi(n)\ln\gamma$ | Taux de croissance d'Aghion-Howitt |
| Éq. 13.13 | Régression de Solow augmentée (MRW) | Équation du revenu entre pays |